In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell'esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.

Lo spazio iperbolico ha dimensione arbitraria ${\displaystyle n}$ ed è indicato con ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Può essere realizzato tramite vari modelli equivalenti, quali ad esempio il disco, il semispazio di Poincaré o il modello dell'iperboloide. Come nella geometria euclidea, gli spazi più studiati sono il piano iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ e lo spazio iperbolico tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$.

Lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è un particolare spazio, su cui è definita una geometria che soddisfa i primi 4 assiomi di Euclide ma non il quinto. La geometria presente in questo spazio è detta iperbolica.

Il numero ${\displaystyle n}$ indica la dimensione dello spazio iperbolico. In ogni dimensione ${\displaystyle n}$, lo spazio iperbolico può essere realizzato da differenti modelli, tutti equivalenti.

Lo stesso argomento in dettaglio: Disco di Poincaré.

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è la palla ${\displaystyle n}$-dimensionale

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}.}$

Per ${\displaystyle n=2}$, questo è il cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano cartesiano, senza la circonferenza di bordo.

Una retta nel disco di Poincaré è un arco di circonferenza, oppure un segmento, che interseca il bordo ${\displaystyle \partial B^{n}}$ della palla ${\displaystyle B^{n}}$ ortogonalmente in due punti. Due "rette" che si intersecano in un punto formano un angolo, e la sua ampiezza è pari all'angolo formato dalle tangenti.

Lo stesso argomento in dettaglio: Semispazio di Poincaré.

Nel modello del semispazio di Poincaré, lo spazio iperbolico è il semispazio

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}.}$

Come nel modello del disco, le rette iperboliche sono gli archi di circonferenza e le rette ortogonali al bordo. In questo modello, il bordo è l'iperpiano orizzontale ${\displaystyle x_{n}=0}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Modello di Klein.

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio ${\displaystyle C}$. Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

La distanza fra due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ interni al disco è

${\displaystyle d(P,Q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {|Q-A||P-B|}{|P-A||Q-B|}}}$

dove ${\displaystyle |R-S|}$ è la distanza euclidea fra i punti ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$. I punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono le intersezioni fra la retta euclidea passante per ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ e il bordo ${\displaystyle \partial B^{n}}$. Il logaritmo è il logaritmo naturale. L'argomento del logaritmo è il birapporto dei quattro punti allineati.

Nel modello dell'iperboloide, lo spazio iperbolico è l'iperboloide

${\displaystyle H={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ {\big |}\ x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}=-1,x_{n+1}>0{\big \}}.}$

In questo modello, una retta è data dall'intersezione di ${\displaystyle H}$ con un piano passante per l'origine di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. In questo contesto, è utile definire su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ una struttura di spaziotempo di Minkowski, cioè il prodotto scalare con segnatura ${\displaystyle (n,1)}$:

${\displaystyle \phi {\big (}(x_{1},\ldots ,x_{n+1}),(y_{1},\ldots ,y_{n+1}){\big )}=x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}-x_{n+1}y_{n+1}.}$

L'insieme degli ${\displaystyle x}$ aventi ${\displaystyle \phi (x,x)=-1}$ ha due componenti connesse, una delle quali (quella superiore, avente ${\displaystyle x_{n+1}>0}$) è l'iperboloide ${\displaystyle H}$. La distanza fra due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ su ${\displaystyle H}$ è definita come

${\displaystyle d(P,Q)=\operatorname {arcosh} (\phi (P,Q)).}$

La definizione più rigorosa di spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è la seguente: ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è l'unica varietà iperbolica completa e semplicemente connessa di dimensione ${\displaystyle n}$. Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale costantemente ${\displaystyle -1}$.

Per "unica" si intende "a meno di isometrie": tutti i modelli elencati sopra sono in effetti collegati tramite isometrie, quindi definiscono concretamente la stessa varietà. Il fatto che esista un solo spazio con queste proprietà è un teorema importante in geometria differenziale.

Una geodetica è l'analogo della retta nel contesto euclideo. Nel modello del disco o del semispazio, le geodetiche sono archi di circonferenza o retta ortogonali al bordo (del disco o del semispazio). Le geodetiche hanno proprietà simili alle rette nella geometria euclidea:

1. Per ogni coppia di punti distinti passa una sola geodetica,
2. Per ogni punto e per ogni vettore tangente nel punto, esiste un'unica geodetica passante per il punto e tangente a questo vettore,
3. La geodetica che collega due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ è la curva con lunghezza minore fra tutte le curve che collegano i due punti. Questa lunghezza è proprio pari alla distanza ${\displaystyle d(P,Q)}$.

Le ultime due proprietà sono valide, almeno localmente, in ogni varietà riemanniana.

Come nello spazio euclideo, in quello iperbolico sono definiti, oltre alle geodetiche, spazi di dimensione superiore, come ad esempio i piani.

Un sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ tale che per ogni coppia ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ di punti in ${\displaystyle S}$ l'intera geodetica passante per ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ è contenuta in ${\displaystyle S}$.

Mentre le geodetiche esistono (almeno localmente) in ogni varietà riemanniana, i sottospazi esistono solo in varietà molto particolari, quali appunto lo spazio euclideo e quello iperbolico. Come nel caso euclideo, un sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ risulta essere isometrico a ${\displaystyle \mathbb {H} ^{k}}$, per qualche ${\displaystyle k}$. Il numero ${\displaystyle k}$ è la dimensione del sottospazio: per ${\displaystyle k=1}$ si ottiene una geodetica, per ${\displaystyle k=2}$ un piano, etc.

L'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio.

Lo stesso argomento in dettaglio: Parallelismo in geometria iperbolica.

Lo spazio iperbolico si differenzia però nettamente da quello euclideo per la nozione di parallelismo. Dati due sottospazi ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S'}$ disgiunti, esistono due nozioni di parallelismo ben distinte:

1. Se esiste un ${\displaystyle k>0}$ tale che ${\displaystyle d(x,x')>k}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle S}$ e ogni ${\displaystyle x'}$ in ${\displaystyle S'}$, allora i due spazi sono ultraparalleli.
2. Se non esiste un tale ${\displaystyle k}$, i due spazi sono asintoticamente paralleli.

Nel secondo caso, esistono successioni di punti ${\displaystyle (x_{i})}$ e ${\displaystyle (x_{i}')}$ in ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S'}$ le cui distanze ${\displaystyle d(x_{i},x_{i}')}$ tendono a zero. Questo fenomeno non si verifica negli spazi euclidei.

Lo stesso argomento in dettaglio: Isometria dello spazio iperbolico.

Una isometria di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi. Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per molti aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo. Possono inoltre essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico: questo è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, e per ogni coppia di rette ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ passanti rispettivamente per ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, esiste una isometria dello spazio che manda ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle s}$.

Nel modello del disco di Poincaré ${\displaystyle B^{n}}$, la sfera all'infinito dello spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è il bordo ${\displaystyle \partial B^{n}}$ del disco. Come spazio topologico, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}}$ è omeomorfo al disco chiuso

${\displaystyle D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}=B^{n}\cup S^{n-1}.}$

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Una isometria dello spazio iperbolico

${\displaystyle f:\mathbb {H} ^{n}\to \mathbb {H} ^{n}}$

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

${\displaystyle {\bar {f}}:{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}\to {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}}$

che coincide con ${\displaystyle f}$ all'interno del disco, cioè su ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso ${\displaystyle D^{n}}$ in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta ${\displaystyle B^{n}}$, garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa ${\displaystyle {\bar {f}}}$ (ma non per ${\displaystyle f}$).

Una isometria ${\displaystyle f}$ che preserva l'orientazione dello spazio iperbolico è detta:

• ellittica se ha un punto fisso in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$,
• parabolica se non ha punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ e ne ha uno al bordo ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{n}}$,
• iperbolica se non ha punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ e ne ha due al bordo ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{n}}$.

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria iperbolica.

Il piano iperbolico è lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ bidimensionale. È lo spazio iperbolico più studiato, ed il primo ad essere stato introdotto storicamente, come esempio di geometria iperbolica e quindi non-euclidea. Sul piano iperbolico sono infatti validi i primi quattro assiomi di Euclide:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

ma non è vero il quinto:

Data una qualsiasi retta ${\displaystyle r}$ ed un punto ${\displaystyle P}$ non appartenente ad essa, è possibile tracciare per ${\displaystyle P}$ una ed una sola retta parallela alla retta ${\displaystyle r}$ data.

Quest'ultimo assioma va infatti sostituito con il seguente:

Data una qualsiasi retta ${\displaystyle r}$ ed un punto ${\displaystyle P}$ non appartenente ad essa, è possibile tracciare per ${\displaystyle P}$ infinite rette parallele alla retta ${\displaystyle r}$ data.

Lo spazio iperbolico tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ è stato oggetto di intensi studi da parte dei matematici soprattutto a partire dalla fine degli anni settanta, cioè più di un secolo dopo l'introduzione del piano iperbolico. L'improvviso interesse per lo spazio iperbolico è dovuto agli studi di William Thurston, che hanno mostrato inaspettatamente l'enorme importanza della geometria iperbolica nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 3.

• (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.
• (EN) John Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 6, n. 1, 1982.

• Geometria iperbolica
• Geometria ellittica
• Gruppo iperbolico

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