Gruppo di Weyl

In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] In astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti.

Il gruppo di Weyl di un gruppo di Lie semisemplice, di un'algebra di Lie semisemplice, di un gruppo algebrico lineare semisemplice, ecc. è il gruppo di Weyl del sistema di radici di quel gruppo o algebra .

Sia ${\displaystyle \Phi }$ un sistema di radici in uno spazio euclideo ${\displaystyle V}$. Per ogni radice ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, sia ${\displaystyle s_{\alpha }}$ la riflessione rispetto all'iperpiano perpendicolare a ${\displaystyle \alpha }$, data esplicitamente da

${\displaystyle s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha }$ ,

dove ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ il prodotto interno su ${\displaystyle V}$ . Il gruppo di Weyl ${\displaystyle W}$ di ${\displaystyle \Phi }$ è il sottogruppo del gruppo ortogonale ${\displaystyle O(V)}$ generato da tutti gli ${\displaystyle s_{\alpha }}$. Per definizione di sistema di radici, ciascuno degli ${\displaystyle s_{\alpha }}$ conserva ${\displaystyle \Phi }$, da cui segue che ${\displaystyle W}$ è un gruppo finito.

Nel caso del sistema di radici di ${\displaystyle A_{2}}$, ad esempio, gli iperpiani perpendicolari alle radici sono solo linee e il gruppo di Weyl è il gruppo di simmetria di un triangolo equilatero, come indicato nella figura. Come un gruppo, ${\displaystyle W}$ è isomorfo al gruppo di permutazione su tre elementi, considerabili come i vertici del triangolo. Si noti che in questo caso, ${\displaystyle W}$ non è il gruppo di simmetria completo del sistema di radici; una rotazione di 60 gradi conserva ${\displaystyle \Phi }$ ma non è un elemento di ${\displaystyle W}$ .

Si consideri anche il sistema di radici ${\displaystyle A_{n}}$. In questo caso, ${\displaystyle V}$ è lo spazio di tutti i vettori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ le cui entrate si sommano a zero. Le radici sono costituite dai vettori della forma ${\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j}$, dove ${\displaystyle e_{i}}$ è l'${\displaystyle i}$-esimo elemento base standard per ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ . La riflessione associata a tale radice è la trasformazione di ${\displaystyle V}$ ottenuto scambiando il ${\displaystyle i}$- e ${\displaystyle j}$ -esimi elementi di ciascun vettore. Il gruppo di Weyl per ${\displaystyle A_{n}}$ è allora il gruppo di permutazione su ${\displaystyle n+1}$ elementi.

Se ${\displaystyle \Phi \subset V}$ è un sistema di radici, si può considerare l'iperpiano perpendicolare a ciascuna radice ${\displaystyle \alpha }$. Si ricordi che ${\displaystyle s_{\alpha }}$ denota la riflessione sull'iperpiano e che il gruppo di Weyl è il gruppo di trasformazioni di ${\displaystyle V}$ generato da tutti i ${\displaystyle s_{\alpha }}$. Il complemento dell'insieme degli iperpiani è disconnesso e ogni componente connesso è chiamato camera di Weyl. Se abbiamo fissato un particolare insieme di radici semplici, possiamo definire la camera fondamentale di Weyl associata a come l'insieme dei punti ${\displaystyle v\in V}$ tale che ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ per ogni ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$.

Dal momento che le riflessioni ${\displaystyle s_{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, conservano ${\displaystyle \Phi }$, conservano anche l'insieme degli iperpiani perpendicolari alle radici. Pertanto, ogni elemento del gruppo di Weyl permuta le camere di Weyl.

La figura illustra il caso del sistema di radici ${\displaystyle A_{2}}$. Gli "iperpiani" (in questo caso, unidimensionali) ortogonali alle radici sono indicati da linee tratteggiate. I sei settori di 60 gradi sono le camere di Weyl e la regione ombreggiata è la camera di Weyl fondamentale associata alla base indicata.

Un teorema generale di base sulle camere di Weyl è questo:

Teorema: il gruppo di Weyl agisce liberamente e in modo transitivo sulle camere di Weyl. Pertanto, l'ordine del gruppo di Weyl è uguale al numero di camere di Weyl.

Un risultato correlato è questo:

Teorema: sia data una camera di Weyl ${\displaystyle C}$. Allora per tutti ${\displaystyle v\in V}$, l'orbita di Weyl di ${\displaystyle v}$ contiene esattamente un punto nella chiusura ${\displaystyle {\bar {C}}}$ di ${\displaystyle C}$ .

Un risultato chiave sul gruppo di Weyl è il seguente:

Teorema: se ${\displaystyle \Delta }$ è la base per ${\displaystyle \Phi }$, allora il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni ${\displaystyle s_{\alpha }}$ insieme a ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle \Delta }$ .

Vale a dire, il gruppo generato dalle riflessioni ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$ è lo stesso del gruppo generato dalle riflessioni ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ .

Nel frattempo, se ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono in ${\displaystyle \Delta }$, quindi il diagramma di Dynkin per ${\displaystyle \Phi }$ rispetto alla base ${\displaystyle \Delta }$ dice qualcosa su come la coppia ${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$ si comporta. In particolare, si supponga che ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v'}$ sono i vertici corrispondenti nel diagramma di Dynkin. Allora abbiamo i seguenti risultati:

• Se non c'è legame tra ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v'}$, allora ${\displaystyle s_{\alpha }}$ e ${\displaystyle s_{\beta }}$ commutano. Siccome ${\displaystyle s_{\alpha }}$ e ${\displaystyle s_{\beta }}$ hanno ordine due, questo equivale a dire che ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$ .
• Se c'è un legame tra ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v'}$, allora ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$ .
• Se ci sono due legami tra ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v'}$, allora ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$ .
• Se ci sono tre legami tra ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v'}$, allora ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$ .

L'affermazione precedente non è difficile da verificare, ricordando semplicemente cosa dice il diagramma di Dynkin sull'angolo tra ciascuna coppia di radici. Se, per esempio, non c'è legame tra i due vertici, allora ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono ortogonali, da cui segue facilmente che le riflessioni corrispondenti commutano. Più in generale, il numero di legami determina l'angolo ${\displaystyle \theta }$ tra le radici. Il prodotto delle due riflessioni è quindi una rotazione per angolo ${\displaystyle 2\theta }$ nel piano attraversato da ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$, come il lettore potrà verificare, da cui consegue facilmente la suddetta affermazione.

I gruppi di Weyl sono esempi di gruppi di riflessione finiti, in quanto generati da riflessioni; i gruppi astratti (non considerati come sottogruppi di un gruppo lineare) sono di conseguenza gruppi di Coxeter finiti, il che consente loro di essere classificati dal loro diagramma di Coxeter-Dynkin. Essere un gruppo di Coxeter significa che un gruppo di Weyl ha un tipo speciale di presentazione in cui ogni generatore ${\displaystyle x_{i}}$ è di ordine due, e le relazioni diverse da ${\displaystyle x_{i}^{2}=1}$ sono della forma ${\displaystyle (x_{i}x_{j})^{m_{ij}}=1}$ . I generatori sono le riflessioni date da semplici radici, e ${\displaystyle m_{ij}}$ è 2, 3, 4 o 6 a seconda che le radici i e j formino un angolo di 90, 120, 135 o 150 gradi, cioè se nel diagramma di Dynkin sono scollegati, collegati da un arco semplice, collegati da un doppio arco o collegati da un triplo arco. Abbiamo già notato queste relazioni nell'elenco puntato sopra, ma per dire che ${\displaystyle W}$ è un gruppo di Coxeter, stiamo dicendo che queste sono le uniche relazioni in ${\displaystyle W}$ .

I gruppi di Weyl hanno un ordine di Bruhat e una funzione di lunghezza in termini di questa presentazione: la lunghezza di un elemento del gruppo di Weyl è la lunghezza della parola più corta che rappresenta quell'elemento in termini di questi generatori standard. C'è un unico elemento più lungo di un gruppo di Coxeter, che è opposto all'identità nell'ordine di Bruhat.

• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3-319-13466-6.
• Anthony W. Knapp, Lie Groups: Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, 2nd, Birkhaeuser, 2002, ISBN 978-0-8176-4259-4.
• (EN) Weyl group, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• J.-F. Hämmerli, M. Matthey e U. Suter, Automorphisms of Normalizers of Maximal Tori and First Cohomology of Weyl Groups (PDF), in Journal of Lie Theory, vol. 14, Heldermann Verlag, 2004, pp. 583–617, Zbl 1092.22004.

• Gruppo di Coxeter
• Algebra di Lie semisemplice#Sottoalgebre di Cartan e sistemi di radici
• Sistema di radici
• Diagramma di Hasse

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo di Weyl, su MathWorld, Wolfram Research.
• Jenn3D, su jenn3d.org.

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