Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

La trasformazione binomiale di una successione ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ è la successione ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ definita come:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}}$

Formalmente si può scrivere ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$, dove ${\displaystyle T}$ è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita ${\displaystyle \{T_{nk}\}}$:

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}}$

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

${\displaystyle TT=1}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$

dove ${\displaystyle \delta }$ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}}$

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}}$

dove ${\displaystyle \Delta }$ è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}$

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}}$

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$

dove ${\displaystyle B_{n}}$ sono i numeri di Bell.

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

e:

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}$

allora:

${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)}$

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}$

che fornisce:

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}$

dove ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle B}$ sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ e ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}}$

Si ponga questa somma uguale alla funzione ${\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}}$. Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}}$

Ripetendo questo procedimento k volte segue che:

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}}$

il cui inverso è:

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}}$

Si può generalizzare ciò come:

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}}$

dove ${\displaystyle \mathbf {E} }$ è l'operatore di shift. Il suo inverso è:

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}}$

• (EN) John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• (EN) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• (EN) Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform Archiviato il 12 marzo 2007 in Internet Archive.
• (EN) Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• (EN) Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

• Differenza finita
• Somma di Eulero
• Spazio delle successioni
• Successione (matematica)

• (EN) Helmut Prodinger - Some information about the binomial transform, su math.sun.ac.za. URL consultato il 13 marzo 2008 (archiviato dall'url originale il 12 marzo 2007).

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