Condizione di Palais-Smale

In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile ${\displaystyle F\in C^{1}(H,\mathbb {R} )}$ da uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H}$ tale che ${\displaystyle \{F[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }}$ è limitato e ${\displaystyle F'[u_{k}]\rightarrow 0}$ in ${\displaystyle H'}$ (spazio duale di ${\displaystyle H}$) ammette una sottosuccessione convergente.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Banach e sia ${\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbb {R} }$ un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora ${\displaystyle \Phi }$ soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ tale che:

• ${\displaystyle \sup |\Phi (x_{n})|<\infty }$
• ${\displaystyle \Phi '(x_{n})\to 0}$ in ${\displaystyle X^{*}}$
• ${\displaystyle \Phi (x_{n})\neq 0}$ per tutti gli ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

esiste un punto critico ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ di ${\displaystyle \Phi }$ tale che i limiti superiore ed inferiore di ${\displaystyle \Phi (x_{n})}$ soddisfano:

${\displaystyle \liminf \Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup \Phi (x_{n})}$

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

• Derivata di Fréchet
• Punto critico (matematica)

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