In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.
Formulazione forte
[modifica | modifica wikitesto]Un funzionale continuo Fréchet differenziabile da uno spazio di Hilbert ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione tale che è limitato e in (spazio duale di ) ammette una sottosuccessione convergente.
Formulazione debole
[modifica | modifica wikitesto]Sia uno spazio di Banach e sia un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione tale che:
- in
- per tutti gli
esiste un punto critico di tale che i limiti superiore ed inferiore di soddisfano:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.