Congettura di Bunjakovskij

La congettura di Bunjakovskij, formulata nel 1857 dal matematico russo Viktor Bunjakovskij, afferma che per ogni polinomio a coefficienti interi p tale per cui:

1. p è irriducibile
2. p è di grado 2 o maggiore
3. gli infiniti valori p(n) generati al variare dell'argomento nei naturali sono coprimi (ovvero hanno massimo comun divisore pari a uno)

la sequenza p(n) contiene infiniti numeri primi. I polinomi che soddisfano le summenzionate condizioni sono anche noti come polinomi di Bunjakovskij.

La seconda condizione esclude i polinomi irriducibili di primo grado, per i quali l'asserto era già stato dimostrato nel 1835 da Dirichlet (teorema di Dirichlet).

La terza condizione esclude invece i polinomi per i quali l'asserto è banalmente falso: se i p(n) sono tutti multipli di un comune divisore d maggiore di 1, l'insieme può contenere al più un unico numero primo.^[1] Un esempio è il polinomio ${\displaystyle p(n)=n^{2}+n+4}$, i cui valori generati sono tutti pari.

La congettura di Bunjakovskij è una generalizzazione della quinta congettura di Hardy-Littlewood, la quale afferma che la sequenza ${\displaystyle p(n)=n^{2}+1}$ contiene infiniti numeri primi:

Allo stato attuale non solo non è noto se i polinomi di Bunjakovskij generino infiniti numeri primi, ma non è nemmeno provato che tali polinomi generino sempre almeno un numero primo.

• Teorema di Dirichlet

• (EN) Eric W. Weisstein, Congettura di Bunjakovskij, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) S. Lang, Bunyakovskii conjecture, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• V. Bouniakowsky, Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs, in Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg, vol. 6, 1857, pp. 305–329.

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