Primo fattoriale

Un primo fattoriale è un numero primo che differisce di 1 da un fattoriale, cioè è della forma ${\displaystyle n!-1}$^[1] oppure ${\displaystyle n!+1}$^[2]. I più piccoli primi fattoriali sono:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199.

I primi fattoriali sono interessanti per i teorici dei numeri perché delimitano sequenze di numeri composti di lunghezza arbitraria. Infatti, per ogni numero naturale ${\displaystyle n>1,}$ tutti i numeri da ${\displaystyle n!+2}$ a ${\displaystyle n!+n}$ (estremi inclusi) sono composti. Tuttavia, non è detto che ${\displaystyle n!+1,}$ per ogni ${\displaystyle n!}$ sia primo fattoriale. Non sono però minimali, ad esempio i 13 numeri della sequenza da 114 a 126 sono non primi^[3], ma ${\displaystyle 13!+1=6227020801.}$

A dicembre 2024 i più grandi primi fattoriali conosciuti dei due tipi sono ${\displaystyle 632760!-1}$ (3395992 cifre scoperto nell'ottobre 2024 da Ryan Propper) e ${\displaystyle 422429!+1}$ (2193027 cifre scoperto nel febbraio 2022 sempre da Ryan Propper).^[4] Si congettura che esistano infiniti numeri primi fattoriali (di entrambe le forme).

(EN) Primo fattoriale in Wolfram Research, azienda produttrice del software Mathematica.

• Numero primo
• Fattoriale
• Primo primoriale
• Numero primo euclideo

• (EN) Eric W. Weisstein, Primo fattoriale, su MathWorld, Wolfram Research.

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