Disuguaglianza di Friedrichs

In matematica, in particolare in analisi funzionale, la disuguaglianza di Friedrichs è un teorema dovuto a Kurt Friedrichs che limita la L^p-norma di un funzione attraverso la L^p-norma delle sue derivate deboli e la geometria del dominio di definizione. Il risultato può essere quindi utilizzato per dimostrare che alcune norme in uno spazio di Sobolev sono equivalenti.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un insieme limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ di diametro ${\displaystyle d}$, e sia ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ una funzione appartenente allo spazio di Sobolev ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$. Allora vale che:

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$

Dove:

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ rappresenta la norma dello spazio ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$.
• ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$ è un multi-indice con norma ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}}$;
• ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ è la derivata parziale mista debole:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}}$

• (EN) K.O. Friedrichs, "Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravititationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz" Math. Ann. , 98 (1927) pp. 566–575
• (EN) S.L. Sobolev, "Applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• (EN) S.M. Nikol'skii, P.I. Lizorkin, "On some inequalities for weight-class functions and boundary-value problems with a strong degeneracy at the boundary" Soviet Math. Dokl. , 5 (1964) pp. 1535–1539 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 159 : 3 (1964) pp. 512–515
• (EN) S.M. Nikol'skii, Approximation of functions of several variables and imbedding theorems , Springer (1975)

• Derivata debole
• Disuguaglianza di Poincaré
• Norma (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Spazio Lp

• (EN) D.F. Kalinichenko, N.V. Miroshin, Friedrichs inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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