Discussione:Tensore

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Sono sempre stato curioso riguardo ai tensori e al calcolo tensoriale, come anche della relatività. Così quando ho visto questo articolo mi ci sono buttato :-) Non ho fatto modifiche, ma vorrei farne: anche conoscendo un bel pò di matematica però, non sono riuscito a capire davvero cosa è un tensore. Ergo, prima di combinare casini, vorrei fare alcune domande...

1. Da quello che ho capito, un tensore non è indipendente dal particolare sistema di riferimento, nel senso che "i numeretti" della sua rappresentazione matriciale dipendono da quello, però lo è il risultato del calcolo con i tensori, giusto? Cioè, calcolando con i tensori si ottiene o un tensore finale o una quantità invariante: nel primo caso, il tensore è sempre quello e va "specializzato" scegliendo un sistema di riferimento e calcolando di conseguenza "i numeretti" della sua matrice, nel secondo caso va già bene così. E' esatto?
2. Sia A il tensore di ordine n-2 ricavato dalla contrazione del tensore misto B di ordine n: è A = B oppure no? Se no, in che relazione stanno i due?

Se la cosa non è un problema, vorrei scrivere due righe all'inizio, destinate a quelli come me, per spiegare in termini più semplici il significato, l'utilità e l'uso dei tensori... dopo che mi sarò chiarito le idee :-) --Kormoran 01:45, Ago 31, 2005 (CEST)

Il tensore è una generalizzazione del concetto di vettore e matrice: un tensore di ordine 1 è un vettore, di ordine 2 una matrice, di ordine 3 è una matrice tridimensionale e via dicendo. Dopo la contrazione, il tensore si abbassa di grado: è come quando si calcola il modulo di un vettore: si passa ad uno scalare. Il quale, tra l'altro, è invariante in qualsiasi sistema di coordinate si rappresenti il vettore. È ovvio che un tensore di ordine n-2 è differente da uno di ordine n, come uno scalare (il modulo) è differente dal vettore da cui deriva. --BW Insultami 07:40, Set 1, 2005 (CEST)

Sì, ma

1. cambiando il sistema di riferimento la rappresentazione del tensore come matrice n-dimensionale (i numeretti, oppure le funzioncine) cambia oppure rimane sempre la stessa in tutti i sistemi di riferimento? Ho capito che i tensori sono una generalizzazione ecc. ecc., ma non ho capito quanto sono generalizzati. Se sono generalizzati poco, dovrebbero cambiare... oppure sono generalizzati tanto da essere totalmente indipendenti da una particolare base anche nella loro rappresentazione pratica?
2. OK, anche una matrice 6x6 è diversa da una 3x6, ma una matrice 6x6 di rango 3 è equivalente (=descrive la stessa applicazione lineare) a una opportuna matrice 3x6... la stessa cosa (o una relazione analoga) vale per un tensore misto e per il suo contratto di ordine n-2? Per caso il tensore misto B è uguale al suo contratto A moltiplicato per un invariante (qualunque cosa sia)? --Kormoran 15:22, Set 1, 2005 (CEST)

1. Tanto per citare Matrix II&III: alcune cose cambiano, altre no. Il tensore "metrico", ad esempio la geodetica dello spaziotempo, non può cambiare al variare dei sistemi delle coordinate. Idem per tutte le leggi fisiche: lo scopo è appunto descriverle come invarianti rispetto al sistema di riferimento. Ovviamente altri tensori, come per esempio la densità di energia, variano al variare delle corrdinate: se una palla di massa ${\displaystyle m}$ è ferma in un sistema, e la sua energia è ${\displaystyle E=mc^{2}}$, in uno che si muove avrà massa ${\displaystyle m_{1}>m\rightarrow E_{1}>E}$.
2. Come detto prima, il modulo di un vettore è diverso dal vettore. Se a te serve solo il modulo (ad esempio è un vettore spostamento e calcoli l'accelerazione o il tempo) allora sono equivalenti, altrimenti no (in un campo conservativo, ad esempio, il lavoro dipende non solo dalla lunghezza dello spostamento, ma anche dalla direzione). Per i tensori è lo stesso. --BW Insultami 07:49, Set 2, 2005 (CEST)

Ciao, vorrei evidenziare la presenza di un'improprietà nell'uso del termine: "tensore fondamentale" questo termine individua solitamente (Eistein stesso utilizza tale dicitura) il/la delta di Kronecker e non il tensore metrico. è una sottigliezza lo so... ManOfIce 15:40, 19 feb 2006 (CET)[rispondi]

La definizione matematicamente corretta (e semplice) di tensore di rango (k,l) è: applicazione multilineare che manda k covettori e l vettori in R. Perchè non iniziare l'articolo così e continuare con esempi più rigorosi? Perchè complicarsi la vita immaginandosi matrici n-dimensionali e altre stranezze invece di attenersi a quello che è la (così semplice) definizione?

Non si inizia l'articolo così perchè un generico lettore (NON matematico), di fronte a queste parole, chiuderebbe immediatamente il browser e andrebbe a vedere qualcos'altro. La definizione che dai di tensore è semplice e (immagino) rigorosamente corretta, ma assolutamente incomprensibile. Che cavolo è un'applicazione multilineare? E a che cavolo serve??? Queste le prime due domande che immediatamente un profano ti farebbe, letta quella definizione. Sempre che, come dicevo, non se ne vada prima... l'essere questa una enciclopedia rende indispensabile l'esprimersi con parole semplici, comprensibili a tutti (vedi Aiuto:Manuale_di_stile). La definizione rigorosa ed esatta viene dopo, quando già il profano "ha un'idea" di che cosa sono i tensori, cioè degli strumenti per fare i conti senza dover dipendere da un sistema di riferimento. Quando gli hai detto questo, cioè (implicitamente) che i tensori servono a qualcosa e che ha un senso sapere cosa sono, puoi passare alla trattazione matematica rigorosa: il profano magari non capirà una mazza (ma non è detto...), però sarà certamente più ben disposto ad esaminare i paroloni e le formulone che gli stai per propinare :-) --Kormoran 17:31, 16 mar 2007 (CET)[rispondi]

P.S. l'usare parole semplici per esporre concetti complessi, fra parentesi, è un OTTIMO esercizio per certuni, bravi matematici ma pessimi insegnanti ;-)

Concordo totalmente col dare la definizione che usa le funzioni multilineari, in quanto è la definizione più comprensibile, e poi sviluppare i concetti di indipendenza da sistemi di riferimento, rappresentazioni come matrici nel caso (1,1), (0,2), ... non è questione di usare termini difficili per spiegare concetti complessi, è che sono i termini più facili per far rendere conto di cosa sia effettivamente un tensore, a parte le "chiacchere" su "possibilità di scrivere equazioni invarianti rispetto al riferimento" che è quello di cui ci si deve accontentare se non si vuole approfondire...Un po' di algebra multilineare è il prezzo da pagare per capire cos'è un tensore. Poi il concetto di funzione m-lineare non è che sia la fine del mondo, è come dice il nome una funzione in m argomenti da uno spazio vettoriale ad un'altro che è lineare in ogni argomento (f:V^m → W | g(v_i) := f(v₀,...,v_i,...,v_m) è lineare) SkyHc

Primo: non si capisce niente... Il tensore definito come elemento del prodotto tensoriale. Non so se sbaglio io ma penso che il tensore "debba" essere introdotto come una funzione non come elemento astruso di uno spazio chiamato prodotto tensoriale... Al massimo si potrebbe far vedere come cambia un tensore quando si cambia la base.

Secondo: il tensore non è una matrice. Se il tensore ha 2 indici allora può avere una rappresentazione matriciale ma non è una matrice.

Altra nota: Einstein non centra un tubo con ${\displaystyle g_{ij}}$ tensore metrico o meglio... Il tensore metrico è una caratteristica di una varietà e non centra un niente con la relatività. O meglio centra ma non dipende dalla teoria di Einstein

--Simon Garruto 17:20, 28 mag 2007 (CEST)[rispondi]

ps: non so se il tensore metrico sia nato con Einstein ma in ogni caso esiste a prescindere dalla relatività

Ho riscritto la voce tenendo conto delle esigenze espresse. Credo di aver riscritto tutte le informazioni contenute precedentemente, date da questa versione. Sono andato a mente e non ho controllato ogni dettaglio, ogni commento/modifica è ovviamente benvenuto. Non ho ancora parlato di campi tensoriali, cioè di tensori definiti sulle varietà (che vengono anch'essi chiamati tensori, e la cosa crea un po' di confusione): aggiungerei un paragrafino sull'argomento, senza appesantire troppo (se serve, possiamo creare campo tensoriale). Bye, Ylebru dimmela 20:16, 28 lug 2007 (CEST) P.S.: Le pagine inglesi sull'argomento sono veramente brutte.[rispondi]

Buono, direi. Preferirei ancora che ci fosse una spiegazioncina iniziale meno ostica, ma così è senz'altro meglio di prima. Complimenti Ylebru ^_^ --Kormoran 02:42, 29 lug 2007 (CEST)[rispondi]

Ciao Ylebru complimenti per l'ottimo lavoro che hai fatto (come sempre). Ho dato una lettura veloce e non ho visto da nessuna parte l'accenno all'isomorfismo naturale tra le applicazioni VxV*->R e quelle V->V. Visto che hai messo l'esempio degli endomorfismi ma avevi detto che i tensori sono mappe multilineari in R. Non vorrei rovinare la voce visto che ha sicuramente preso un aspetto decente.--Simon Garruto 14:10, 29 lug 2007 (CEST)[rispondi]

Grazie dei commenti!

@Simon: La sezione Tensore#Operatori lineari dice che "Un tensore T di tipo (1,1) può essere interpretato come un operatore lineare (cioè un endomorfismo) f su V" e parla di questo, se non ho capito male. Certo, c'è scritto "può essere interpretato come" invece di "isomorfismo naturale tra", ma credo che sia più accessibile per il non-matematico. Ho usato l'espressione "operatore lineare" invece che "endomorfismo" perché credo sia più chiara per i fisici.

@Kormoran: Possiamo mettere una sezioncina prima della definizione, che dica che un tensore è spesso definito come un array dipendente da un sistema di riferimento (=base), che cambia in un certo modo al cambiare del sistema di riferimento. E che questa definizione "più concreta" è quella usata spesso dai fisici, e anche la prima nata storicamente se non ricordo male. A proposito: c'è qualche alternativa migliore alla parola array per denotare una matrice di numeri di dimensione arbitraria? Ylebru dimmela 15:20, 29 lug 2007 (CEST)[rispondi]

P.S.:Ho messo una sezione all'inizio, spero aiuti. Ylebru dimmela 17:40, 29 lug 2007 (CEST)[rispondi]

Si ho letto quella parte. Ma aspetta non capisco perchè mi dici che un fisico preferisce operatore lineare a endomorfismo. Prendi un campo vettoriale X. Data una funzione su TQ allora X(f) è lineare ma non è un endomorfismo. So che lo sai ma non ho capito la tua osservazione :) Io studio fisica e mi pare che siano concetti non confondibile. Che mi sfugge? --Simon Garruto 00:03, 30 lug 2007 (CEST)[rispondi]

Per operatore lineare di solito si intende un sinonimo di endomorfismo (e non una più generica trasformazione lineare), perché operatore di solito vuol dire che dominio e codominio sono gli stessi. Mi sembra più usato in fisica soprattutto nell'ambito della meccanica quantistica, però non ne sono per niente sicuro... Ylebru dimmela 00:42, 30 lug 2007 (CEST)[rispondi]

Per evitare ambiguità ho messo ovunque endomorfismo. Ylebru dimmela 15:19, 5 ago 2007 (CEST)[rispondi]

Ho messo da unire a entrambe le pagine, in quanto in calcolo tensoriale ci son omolti argomenti duplicati. O si mette tutta la parte sulla moltiplicazione etc... lì, o si integra tutto qui, tranne la parte di calcolo (differenziale e integrale). --BW Insultami 08:28, 7 ago 2007 (CEST)[rispondi]

Mmmh... allora:

• Secondo me in tensore le nozioni di contrazione e prodotto di tensori ci stanno bene, perché senza queste due nozioni non è possibile fare esempi di tensori.
• D'altra parte, le operazioni di contrazione e prodotto possono essere descritte con più dettaglio, ad esempio con gli esempi che sono presenti in calcolo tensoriale. A me piacciono molto le pagine a "lente di ingrandimento" con i "vedi anche": qui c'è solo la definizione stringata, e altrove ci sono esempi, approfondimenti, ed eventualmente anche dimostrazioni.
• Sarebbe quindi più pratico secondo me avere eventualmente voci come prodotto fra tensori (come abbiamo prodotto fra matrici), derivata covariante, contrazione di un tensore, etc.
• Forse quindi calcolo tensoriale potrebbe fornire un quadro storico/generale del calcolo infinitesimale sui tensori, anzi più precisamente sui campi tensoriali, che parlasse quindi (rimandando a pagine più specifiche per i dettagli) di derivata covariante, di tensori di Riemann, identità di Bianchi, etc.

Quindi, in soldoni, creerei una voce moltiplicazione fra tensori in cui mettere gli esempi presenti in calcolo tensoriale, e ristrutturerei calcolo tensoriale in modo più generale. Ylebru dimmela 13:40, 7 ago 2007 (CEST)[rispondi]

Io la so così: indicato con ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ l'insieme dei tensori di tipo (r,s) allora:

• un elemento di ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ è "fatto di" r vettori e s covettori nel senso che

  ${\displaystyle T_{s}^{r}=V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}}$

• per ottenere uno scalare bisogna che ognuno degli r vettori "si annulli" con un covettore e che ognuno degli s covettori "si annulli" con un vettore, per cui di un elemento di ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ possiamo anche dire che "agisce su" r covettori e s vettori dando uno scalare:

  ${\displaystyle T\in T_{s}^{r}\Leftrightarrow T:V^{*\times r}\times V^{\times s}\rightarrow K}$

• comunque sia, un tensore T di tipo (r,s) di componenti ne ha r controvarianti e s covarianti, infatti se consideriamo che è "fatto di" r vettori e s covettori allora ha r componenti di tipo "vettoriale" e s componenti di tipo "covettoriale"; e alla stessa conclusione arriviamo considerando che T "agisce su" r covettori e s vettori, poiché quando sviluppiamo i suoi argomenti in una base si resta con

  ${\displaystyle T(e^{i_{1}},\cdots ,e^{i_{r}},e_{j_{1}},\cdots ,e_{j_{s}}):=T_{j_{1},\cdots ,j_{s}}^{i_{1},\cdots ,i_{r}}}$

Ricapitolando:

r	s
vettori "di cui è fatto" ${\displaystyle T_{s}^{r}}$	covettori "di cui è fatto" ${\displaystyle T_{s}^{r}}$
covettori "su cui agisce" ${\displaystyle T_{s}^{r}}$	vettori "su cui agisce" ${\displaystyle T_{s}^{r}}$
componenti controvarianti di ${\displaystyle T_{s}^{r}}$	componenti covarianti di ${\displaystyle T_{s}^{r}}$

Ne segue, in particolare, che i vettori sono di tipo (1,0) (sono "fatti di" 1 vettore, "agiscono su" 1 covettore, hanno 1 componente controvariante), mentre i covettori sono di tipo (0,1) (sono "fatti di" 1 covettore, "agiscono su" 1 vettore, hanno 1 componente covariante).

Ora, tutto cio, che è come la so io, è esattamente il contrario di tutto ciò che si dice e che si ripete nell'articolo sui tensori.

Si tratta solo di due diverse convenzioni in uso? ho invertito le cose io?

--..|DP|.. 14:48, 15 set 2007 (CEST)[rispondi]

Per altro mi viene in mente che il fatto di mettere, fra gli argomenti, prima i covettori e poi i vettori, è perfettamente in sintonia con la regola della moltiplicazione "riga per colonna". Così ad esempio se A è (1,1), w è un covettore e v è un vettore, scriviamo <w, Av>, oppure wAv, dove w è appunto una "riga" e v è una "colonna". In particolare mettendo prima i covettori dei vettori possiamo porre :

A(w,v) = wAv

mentre con la convezione contraria dovremmo scrivere:

A(w,v) = vAw

e usare un prodotto "colonna per riga". --..|DP|.. 17:01, 15 set 2007 (CEST)[rispondi]

La sai giusta: la voce era scritta con la convenzione opposta a quella normalmente usata, e cioè con (s,r) invece di (r,s). L'avevo riscritta un mese fa al mare senza libri e avevo tirato a caso, ma non ci ho beccato :-) Ho scambiato tutte le coppie, se qualcuno vuole controllare... Ylebru dimmela 23:07, 16 set 2007 (CEST)[rispondi]

Concordo a proposito delle convenzioni sugli indici (in alto quelli controvarianti, in basso quelli covarianti), ma faccio notare che scrivere che l'insieme dei tensori ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ "è fatto di r vettori e s covettori" (spero non ci sia scritto questo nella voce, non ho guardato) è un modo assai poco enciclopedico (e matematico) di esprimersi: sembra voler dire che un generico elemento di ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ è decomponibile nel prodotto tensoriale di r vettori e s covettori, il che è falso. --Guido 18:02, 17 set 2007 (CEST)[rispondi]

Certo, non c'è scritto così, e io stesso avevo usato un sacco di virgolette per "fare a capirci" e giusto per fissare le idee. Anzi, a proposito del fatto che gli elementi di uno spazio tensoriale non sono tutti "fattorizzabili" (ma sono generati dal sottoinsieme degli elementi "fattorizzabili")...

...ho aggiunto una lunga sezione alla voce Applicazione_multilineare nella quale mostro come la multilinearità possa essere ricondotta alla linearità "immergendo" il prodotto cartesiano in un prodotto tensoriale, e recuperando così la "dualità" fra uno spazio vettoriale e il suo duale. In tutta quella sezione non parlo mai di tensori, e l'aggettivo "tensoriale" compare solo per dire che una certa operazione viene chiamata così. Tutta la sezione quindi è tesa a mostrare come la multilinerità possa essere ricondotta alla linearità: si parte dal problema e si mostra via via quali strutture è necessario inserire per giungere alla soluzione, facendosi "portare per mano" dal problema stesso. Una volta fatto questo lavoro, se si prendono le due equazioni con cui chiudo il lavoro:

${\displaystyle (V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n})^{*}=L(V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n},K)=L^{n}(V_{1}\times \cdots \times V_{n},K)=V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{n}^{*}}$

${\displaystyle (V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{n}^{*})^{*}=L(V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{n}^{*},K)=L^{n}(V_{1}^{*}\times \cdots \times V_{n}^{*},K)=V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}$

si ha che a partire da queste relazioni la voce "tensore" potrebbe essere "liquidata" in una sola riga, scrivendo che: "Un tensore su V è un elemento del prodotto tensoriale di V e V*, presi rispettivamente r ed s volte." Stop :-)

Ad ogni modo, visto che quella sezione l'ho scritta mooolto in fretta, che non ho avuto ancora modo di rileggerla bene ed ora devo uscire, e che per di più ho anche usato un po' di notazione non del tutto usuale (come scrivere ${\displaystyle \otimes (V_{1}\times V_{2})}$ per indicare l'immagine della "immersione", che è poi la sola parte "fattorizzabile" di ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$, per poi spiegare solo in seguito che esistono due prodotti scalari, un su spazi vettoriali e uno fra spazi vettoriali), visto tutto ciò - dicevo - sarà meglio che qualche anima pia ci dia una bella occhiata, ché non si sa mai.

--..|DP|.. 09:08, 18 set 2007 (CEST)[rispondi]

Ogni concetto per essere realmente fruibile andrebbe descritto nel posto giusto, in modo da permettere il lettore di andare subito al dunque. In particolare, non è bene inserire tanta roba in una sezione con lo scopo di andare in una certa direzione, perché la direzione la deve scegliere il lettore. In particolare, le informazioni sullo spazio duale e sul prodotto tensoriale vanno nelle voci relative (se non sono già presenti), e non lì. E altre informazioni, quali ad esempio il fatto che le applicazioni multilineari formano uno spazio vettoriale, vanno isolate da quel percorso e messe in una sezione separata, in modo da essere fruibili anche da chi non è interessato al resto. Sconsiglio infine l'utilizzo di notazioni non standard, perché contrario alle nostre policy (Teknopedia:Niente ricerche originali). :-) Ylebru dimmela 15:03, 19 set 2007 (CEST)[rispondi]

Ho scritto che la notazione non è usuale, ma questo non implica necessariamente che sia "non standard". Infatti: 1) data una funzione ${\displaystyle f:A\leftarrow C}$ è assolutamente standard indicare con f(A) l'immagine di A nel codominio B; 2) nel caso in cui A sia un prodotto cartesiano AxB allora la f è una funzione che ad ogni coppia di elementi (a,b) di AxB associa un elemento di C, ma una funzione fatta in questo modo si chiama anche "operazione", e la si può scrivere sia come f(a,b) sia come ${\displaystyle a\#_{f}b}$ dove ${\displaystyle \#_{f}}$ è l'operatore associato ad f; 3) è standard anche indicare la f stessa con #, scrivendo indifferentemente f(a,b) o #(a,b); 4) dunque, a rigore, al posto di f(AxB) si dovrebbe poter scrivere #(AxB) in modo del tutto standard; 5) ad ogni modo se decidiamo che è meglio non farlo posso tornare a distinguere la funzione E (embedding) da ${\displaystyle \#_{E}:=\otimes }$ e scrivere ${\displaystyle E(V_{1}\times V_{2})}$: decidiamo pure che fare. Quanto alla necessità di isolare delle parti e distribuirle fra le varie voci, ne sono consapevole, e come ti ho già detto altrove "ci sto lavorando" :-) Il fatto è che c'è un vantaggio enorme nell'impostare un problema e lasciarsi guidare dal problema stesso, un vantaggio che in una "enciclopedia" rischia di perdersi completamente. Allora diciamo che vorrei cercare di imparare come si fa a non perdere del tutto questo vantaggio mantenendo allo stesso tempo una struttura del testo compatibile con una voce di enciclopedia. Sto cercando di imparare a farlo, ma nel frattempo non me ne sto con le mani in mano e produco materiale che - quando non è "sbagliato" - è comunque "recuperabile" e "distribuibile". Teniamo anche presente che ci sono dei tipi di enciclopedia (come la "Enciclopedia del Novecento" della Treccani) che hanno poche voci, con ogni voce che si avvicina ad una "breve monografia". Ovviamente non si puà trasformare Teknopedia in una cosa del genere, perché non è questa la sua filosofia, perché si deve mettere assieme il contributo di molte persone, e anche perché è strutturata come un ipertesto, tuttavia nell'ambito di questo "Progetto" si potrebbe anche chiedersi se la matematica sia una materia che si lasci frammentare infinitamente, come sono attualmente infinitamente frammentati quasi tutti gli articoli di matematica. Nella Teknopedia in inglese certi articoli di matematica sono infatti delle vere e proprie "monografie brevi". Allora è certamente possibile - come mi era stato suggerito tempo fa - che sia meglio che io "mi sposti" in Wikibook, ma prima di farlo vorrei capire bene se Teknopedia sia irrimediabilmente destinata ad essere così "frammentata" come è ora, in particolare il settore di matematica. Insomma: io sicuramente esagero da una parte, ma ci sono un sacco di voci che a mio avviso esagerano dall'altra parte, e il risultato è che "non si capisce niente" :-) Ciao. --..|DP|.. 16:45, 19 set 2007 (CEST)[rispondi]

Già che ci siamo, per voi è del tutto chiaro e limpido come si faccia a ricondurre questo caso particolare di universalità:

al seguente caso generale:

?

--..|DP|.. 01:10, 21 set 2007 (CEST)[rispondi]

(Altra cosa: ho visto che in una vecchia discussione il "forgetful" avevate deciso di chiamarlo "dimentico". Ma non sarebbe meglio "smemorato"? La traduzione letterale mi sembra questa; poi non so se nel frattempo sono usciti dei testi autorevoli che propongono un'altra traduzione. --..|DP|.. 01:23, 21 set 2007 (CEST))[rispondi]

Rispondo solo su questo, perchè la mia preparazione sui tensori è zero In effetti mi sembra una traduzione migliore (sicuramente più corretta grammaticalmente) --Piddu 13:07, 21 set 2007 (CEST)[rispondi]

Mi sono messo al lavoro. Ho scritto una lunga introduzione per la voce Prodotto tensoriale. So che le introduzioni non dovrebbero essere lunghe, ma a mio avviso questa voce e anche la vece Tensore lo richiedono. Infatti nella introduzione bisogna spiegare per sommi capi che le definizioni in quel campo possono essere date a tre diversi livelli di "astrazione", corrispondenti a:

• componenti
• applicazioni multilineari
• universalità

Scritta questa introduzione, ho dunque provato a rioganizzare tutto il materiale già presente (e che era stato letteralmente gettato alla rinfusa) in tre grandi capitoli, a seconda del "livello", oltre a un quarto capitolo in cui si fa vedere l'estensione agli spazi di Hilbert.

Per ora non mi sono permesso di cambiare nemmeno una virgola di quel che c'era già scritto (ho lasciato anche quelli che a me sembrano dei veri e propri errori). Se l'impostazione vi sta bene, gran parte del mio lavoro sulla multilinearità potrebbe essere inserito nel secondo capitolo, che per il momento si limita a riportare frammenti di poche righe (mentre la parte del leone la fa il capitolo sulle "componenti").

Nella introduzione non ho potuto fare a meno di parlare di immersione, ma siccome questa voce non c'era ho dovuto crearla: per ora è solo un abbozzo. A sua volta questa voce mi ha costretto a parlare in senso lato di strutture matematiche, e siccome anche questa voce non c'era, aggiunto anche questa traducendola in gran parte dall'inglese.

Se non ci sono obiezioni nei prossimi giorni andrò avanti secondo questo "piano".

--..|DP|.. 15:30, 21 set 2007 (CEST)[rispondi]

Le due nuove voci struttura (matematica) e immersione (matematica) mi sembrano un buon lavoro. A proposito dell'introduzione di prodotto tensoriale: attenzione perché "${\displaystyle V\times W}$ non è uno spazio vettoriale" è falso; il prodotto cartesiano di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale. Ylebru dimmela 11:06, 25 set 2007 (CEST) P.S.:bella la figura. Avrei altri commenti, appena ho tempo li scrivo.[rispondi]

L'ho riscritto così:

"L'esigenza di associare ad un elemento di ${\displaystyle V\times W}$, cioè ad una coppia di vettori ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$, un elemento di un terzo spazio vettoriale sorge a partire dalla constatazione che ${\displaystyle V\times W}$ non può essere considerato uno spazio vettoriale finché in esso non sia definita esplicitamente la struttura algebrica caratteristica degli spazi vettoriali. Ciò può essere ottenuto principalmente in due modi: 1) definendo su ${\displaystyle V\times W}$ una opportuna struttura algebrica (somma, prodotto per uno scalare, eccetera) che lo renda uno spazio vettoriale; 2) immergendo ${\displaystyle V\times W}$ in uno spazio vettoriale più ampio dal quale esso possa "ereditare" la propria struttura algebrica in quanto sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Se si adotta la prima soluzione allora esiste un modo "naturale" di definire una somma e un prodotto in ${\displaystyle V\times W}$, il che porta ad introdurre il concetto di somma diretta di due spazi vettoriali; se invece si adotta la seconda soluzione allora risulta "naturale" (nel senso che sarà illustrato di seguito) introdurre il prodotto tensoriale."

Che ne dici?--..|DP|.. 18:22, 25 set 2007 (CEST)[rispondi]

Vero che lo spazio ${\displaystyle V\times W}$ può essere immerso (come sottoinsieme) in ${\displaystyle V\otimes W}$, ma non ne eredita nessuna struttura algebrica: non è infatti chiuso rispetto alla somma (non è un sottospazio vettoriale). Ylebru dimmela 17:41, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

Beh, ma questo è proprio il succo di tutta la faccenda, ed è quello che andiamo dicendo da giorni: non è uno spazio vettoriale. Però qualche "pezzo" di algebra la eredita, ed in particolare eredita proprio il "prodotto tensoriale". In ${\displaystyle V\otimes W}$ ci sono tutte le bestiole del tipo ${\displaystyle T_{i,j}}$, alcune delle quali sono fattorizzabili in modo "naturale" in due fattori presi dagli spazi V e W: ${\displaystyle T_{ij}=a_{i}b_{j}}$ (quelle non fattorizzabili sono la parte blu scuro del disegno). Ora, nell'algebra tensoriale questo "prodotto" è appunto "naturale", ma in ${\displaystyle V\times W}$ non lo è affatto, tant'è che per poterlo far saltare fuori V e W devono essere considerati come i propri biduali e agire come applicazioni sul proprio duale. È questa l'algebra che viene conservata: dentro ${\displaystyle V\otimes W}$ V e W perdono qualunque struttura (ad esempio diventa impossibile definire la somma diretta) tranne il fatto di essere biduali di sé stessi, nel senso che una coppia (v,w) quando venga immersa in ${\displaystyle V\otimes W}$ mantiene la sua capacità di agire "separatamente" su due elementi di V* e di W*. A me sembra che il cuore della faccenda sia questo, e questa cosa che si conserva e che sta alla base del prodotto tensoriale è pur sempre una proprietà algebrica che poi viene "ritrovata ereditandola". --..|DP|.. 18:02, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

Faccio un po' fatica a seguire. Comunque la frase "immergendo V×W in uno spazio vettoriale più ampio dal quale esso possa "ereditare" la propria struttura algebrica in quanto sottoinsieme di uno spazio vettoriale" fa pensare tutt'altro, e cioè ad una struttura algebrica indotta sul prodotto cartesiano che però non c'è. Bello il disegno, inteso come una inclusione insiemistica che aiuta la comprensione della costruzione. Però i discorsi introduttivi facciamoli solo se sono chiari e rigorosi (e magari già presenti su qualche libro di testo). :-) Ylebru dimmela 18:59, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

A proposito... non è neppure vero che ${\displaystyle V\times W}$ si immerge nel prodotto tensoriale, visto che ${\displaystyle (\lambda v,w)}$ e ${\displaystyle (v,\lambda w)}$ vanno nello stesso elemento, e la mappa naturale da ${\displaystyle V\times W}$ in ${\displaystyle V\otimes W}$ non è quindi iniettiva. Ylebru dimmela 19:09, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

Riscritta tutta quella parte --..|DP|.. 19:13, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

(Per la faccende dell'"immersione" mi prendo un po' di tempo per rifletterci meglio :-) ) --..|DP|.. 19:28, 26 set 2007 (CEST)[rispondi]

Riscritta anche quella. Fammi sapere che ne pensi. Ciao. --..|DP|.. 02:44, 27 set 2007 (CEST)[rispondi]

Essendo io per primo ancora insoddisfatto, ed anche in considerazione delle osservazioni di "Skyhc", ho riscritto tutta la parte centrale della Introduzione, mettendo da parte le questioni di "dualità" (che comunque emergono subito dopo) e partendo direttamente dal "problema da risolvere".--..|DP|.. 08:10, 28 set 2007 (CEST)[rispondi]

L'introduzione sul prodotto tensore non mi è molto chiara. Forse dirò una cavolata ma quando mi trovo di fronte a uno spazio tensoriale e non sono in un contesto geometrico trovo molto semplice pensare a V⊗W come a uno spazio vettoriale in cui ci sono i prodotti di elementi di V e W (pensando a v⊗w come un seplice oggetto formale, niente di più). Pensandola in questo modo, ad esempio nella localizzazione dei moduli, mi sembra spontaneo che ci sia un isomorfismo canonico tra ${\displaystyle U^{-1}R\otimes M\to U^{-1}M}$ dove M è un modulo su R (è un esempio un po' esotico ma ce l'ho fresco in mente ^^'). Credo che una introduzione che dica qualcosa del genere potrebbe chiarificare meglio la cosa, cosa dite?

[Edit] Riguardo la domanda sull'universalità mi pare che il ragionamento sia questo, siamo nella categoria in cui gli oggetti sono le coppie (f,X) dove f è multilineare su un dominio fissato e codominio X, mentre le freccie tra due oggetti (f,X) e (g,Y) sono gli omomorfismi h:X → Y tali che ${\displaystyle g=h\circ f}$. In questa categoria, (τ, V⊗W) come definito nella voce è chiaramente universale visto che solo una freccia può partire da (τ, V⊗W) per andare in (f,X). Bye =) --sky 21:12, 27 set 2007 (CEST)[rispondi]

Ho riscritto tutto. Fammi sapere che te ne pare.--..|DP|.. 08:10, 28 set 2007 (CEST)[rispondi]

Scusa se risp solo adesso ma mi sono preso un po' di tempo per pensare. Secondo me il punto centrale di tutta la faccenda sta proprio ne "L'esigenza di fondo cui viene incontro l'introduzione del prodotto tensoriale", e ancora non riesco a capire il tuo punto di vista (facile che sia colpa mia cmq ^.^' ). Per me l'esigenza fondamentale è trovare uno spazio vettoriale in cui ci siano i prodotti e nient'altro, cioè per cui l'applicazione che va da V×W in questo spazio sia bilineare e nient'altro (in altre parole penso che il punto di vista universale sia l'unico che motivi la definizione). In geometria è facile capire la necessità di definire un tensore e (di solito) si dice qualcosa del tipo: chimiamo le forme multilineari su V×V tensori, e indichiamo lo spazio con V*⊗W* perchè i blocchetti fondamentali di cui sono formate le forme bilineari sono moltiplicazioni di vettori di una base su V*, e la notazione V*⊗W* riassume bene la cosa. Quando si passa all'arte di complicare la geometria (a.k.a. algebra) vogliamo trovare l'applicazione multilineare che sia universale, cioè che sia multineare e solo quello, senza fronzoli. Ho spulciato un po' di libri di algebra, vi cito un pezzetto di Algebra I, Basic Notions Of Algebra di Kostrikin, Shafarevich, che (essendo in linea col mio pensiero) trovo illuminante nonchè semplice:"We define a multiplcation defined on two modules M and N and with values in a third module L to be a map wich takes a pair of elements x ∈ M, y ∈ N into an element xy ∈ L having the following bilinear proprietes [qui seguono le solite formule che dicono che il prodotto è bilineare]. If a multiplication xy is defined on two modules M and N with values in L, and if ${\displaystyle \varphi :L\to L'}$ is a homomorphism, then ${\displaystyle \varphi (xy)}$ defines a multiplication with values in L' . It turns out that all possible multiplications on given modules M ans N can be obtained in this way form a single 'universal' one. This has values in a module which we denote by ${\displaystyle M\otimes N}$, and the product of elements x and y is also denoted by ${\displaystyle x\otimes y}$. The universality consists of the fact that for any multiplication xy defined on M and N with values in L, there exists a unique homomorphism ${\displaystyle \varphi :M\otimes N\to L}$ for which ${\displaystyle xy=\varphi (x\otimes y).}$". Penso che qualcosa del genere riuscirebbe a capirla chiunque che conosca almeno le definizioni dei termini (magari sostituendo spazio vettoriale con modulo =P). Saluti =) --sky 01:08, 29 set 2007 (CEST)[rispondi]

Secondo voi è il caso di definire le densità tensoriali? Tipo la ${\displaystyle \epsilon }$ non è un tensore ma una densità. Conviene metterlo? --Simon Garruto (msg) 23:21, 18 mar 2008 (CET)[rispondi]

Certo. Consiglierei di fare una breve sezione "Densità tensoriale" in fondo, in cui spostare la figura di ${\displaystyle \epsilon }$, con un "vedi anche" che rimanda ad una nuova voce densità tensoriale che tratta l'argomento in modo più approfondito. La sezione potrebbe stare dentro ad una sezione "generalizzazioni". Ylebru dimmela 11:11, 19 mar 2008 (CET)[rispondi]

Ciao, purtroppo in questo momento non ho idea di come si possa formalizzare la densità tensoriale. Ho letto la voce inglese ma non mi convince molto. Appena ho tempo guardo sul Lee (ma in questo momento sono sommerso da esami...).

Inoltre mi piacerebbe mettere ${\displaystyle \epsilon }$ su un'altra pagina visto che si trova praticamente in tutte le algebre/gruppi di Lie che siano imparentate con il momento angolare, si possono esprimere i rotori e i prodotti vettori in modo compatto e ha una legge di moltiplicazione particolare.

Che ne pensi? --Simon Garruto (msg) 14:00, 21 mar 2008 (CET)[rispondi]

Ok ho visto che la pagina esiste già :). Intanto ho creato la pagina della densità --Simon Garruto (msg) 14:55, 21 mar 2008 (CET)[rispondi]

Il tensore è un concetto matematico ed è bene che sia definito qui come attualmente i matematici lo definiscono. Tuttavia l'uso prevalente dei tensori è in fisica per rappresentare problemi di campo. In questo i tensori più importanti sono i tensori del secondo ordine (gli enfomorfismi da V3 a V3?). Sarebbe bene che la voce, o le voci ad essa collegati (calcolo tensoriale, etc.) dessero risalto a questa casistica particolare. Per i tensori sono pure importanti i concetti di invarianza (gli invarianti di un tensore) e l'equazione di rappresentazione di Caley-hamilton, l'equazione caratteristica di un tensore. Tale concetto (presente in wikipedia nella versione englese con una voce apposita) ritengo che vada definito e trattato.--Poeta60 (msg) 14:34, 22 ott 2008 (CEST)[rispondi]

In effetti sarebbe interessante una pagina a parte, o una nuova sezione, sul tema "Esempi dell'uso dei tensori in fisica", ma siamo poveri matematici, non vorremmo scrivere qualche castroneria =) i.e., se qualche fisico vuole accomodarsi credo sia il benvenuto anche da Ylebru che si è occupato di riscrivere la voce. --sky (msg) 23:45, 22 ott 2008 (CEST)[rispondi]

Mi ricollego alla discussione iniziata in questa pagina al paragrafo http://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Tensore#Tensori. Non ne so molto di tensori, ma mi sembra di capire che nella definizione ${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \ldots \times V^{*}} _{h}\times \underbrace {V\times \ldots \times V} _{k}\to K}$ è indicato prima l'ordine di covarianza (h) e poi quello di controvarianza (k) e, coerentemente con questa definizione, subito dopo si dice che "Un tensore T associa quindi a k vettori e h covettori uno scalare...". Tuttavia, nel resto della voce si dice che "l'ordine o tipo del tensore è la coppia (h,k)" intendendo sempre con h l'ordine di controvarianza e k l'ordine di covarianza (si veda ad esempio la frase "Un covettore è un elemento dello spazio duale V* , ovvero un tensore di tipo (0,1)"). Mi sono perso qualcosa oppure, come penso, bisogna invertire la notazione nella definizione e nella frase immediatamente successiva? Marco --160.78.33.253 (msg) 09:29, 30 apr 2010 (CEST)[rispondi]

Grazie del commento. In quello che dici non vedo contraddizione, le definizioni tornano: un elemento dello spazio V* è infatti covariante, ed è un tensore di tipo (0,1). Ylebru dimmela 12:12, 2 mag 2010 (CEST)[rispondi]

Chiedo scusa in anticipo se sto sbagliando i modi di intervento, è la mia prima volta, vedo però che qui è discussa una versione della definizione a mio parere (ugualmente a @Ylebru) corretta, in cui alla controvarianza di ordine h è a associato il prodotto tensoriale di h duali di V, mentre nella definizione attuale ad h viene associato il prodotto tensoriale di h V s.v. . Chiaramente in se è pura questione di nome degli indici, il problema è che si afferma che un vettore sia un (1,0) tensore che nella notazione corrente della pagina significherebbe che un vettore è una funzione lineare scalare che va da V a K, direi proprio di no... Al massimo è vero il contrario, ovvero che associa uno scalare per ogni elemento di V^* , quindi o si riordinano gli spazi nella definizione oppure la notazione da (h,k) a (k,h) --Prolachidofo (msg) 14:24, 24 gen 2024 (CET)[rispondi]

Ciao [@ Prolachidofo], scusa se ti ho annullato la modifica, ma già la voce è incasinata eviterei di incasinarla di più senza un criterio sensato, mi spiego: c'è un po' di confusione nella voce su come mettere gli indici, alcune volte viene fatto in un modo altre in un altro. Andrebbe cercato di rendere il tutto omogeneo facendo una scelta (magari anche inserendo delle fonti per giustificare tale scelta), però eviterei di farlo cambiando un pezzo a caso. Per esempio con la tua modifica si ha che la frase ("Un tensore ${\displaystyle T}$ associa quindi a ${\displaystyle h}$ vettori ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{h}}$ e ${\displaystyle k}$ covettori ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$ uno scalare") dopo la riga che hai modificato è sbagliata (almeno cerchiamo di mantenere coerenti le sezioni), oltre alla sezione "Esempi". Comunque ne possiamo parlare ulteriormente qui se vuoi, ma evita per favore di fare modifiche random su questa cosa. Se invece ti va di rendere il tutto omogeneo, fallo pure :) --Mat4free (msg) 22:05, 24 gen 2024 (CET)[rispondi]

Perdonami, effettivamente non avevo considerato la coerenza totale, rimane il fatto che così non è corretta purtroppo. Poiché come ho detto sono le prime modifiche che faccio, secondo te è meglio proporre qui una modifica complessiva, esiste un modo di proporne una senza renderla pubblica(?) oppure la faccio completa direttamente e la pubblico? --Prolachidofo (msg) 12:29, 25 gen 2024 (CET)[rispondi]

Ciao [@ Prolachidofo], allora puoi sia fare modifiche senza renderle pubbliche nella tua sandbox (vedi questa pagine per maggiori informazioni https://it.wikipedia.org/wiki/Aiuto:Pagina_delle_prove) e poi magari fornire il link per chiedere pareri (ma potrebbe esserci molta inerzia perché magari a non molti interessa o le persone hanno impegni personali e non hanno tempo) oppure puoi fare direttamente tu la modifica. Se la modifica viene annullata, prima di rifarla (le edit war sono estremamente malviste) cerca di capire perché è stata annullata discutendone nella pagine di discussione (della voce o dell'utente che te l'ha annullata a seconda dei casi) e poi magari cercare un consenso nella pagina di discussione della voce su come rifarla, prima di rifarla. In generale, aggiungere fonti attendibili è utile (ma non sempre bastevole) per supportare la validità di una modifica.

Nel caso specifico personalmente (non so che ne pensino gli altri utenti) penso che puoi fare direttamente tu la modifica se riesci a farla bene per tutta la voce rendendo coerente il tutto. Sarebbe l'ideale se aggiungessi anche delle fonti e magari due righe sul fatto che sono usate in letteratura entrambe le notazioni e qui si sceglie una.

Se qualcosa non è chiaro, scrivimi pure (nella mia pagina di discussione o nella tua pingandomi se le domande non sono collegate a questa voce, oppure qui se invece riguardano strettamente la voce in quesitone).--Mat4free (msg) 15:46, 25 gen 2024 (CET)[rispondi]

credo che bisognerebbe aggiungere semplificazioni per i poco esperti, come me, che sono un ragazzo. Io di tutto quelo che c'è scritto ci ho capito ben poco, ma non perchè ho letto superficialmente, bensì è tutto scritto in un linguaggio troppo complicato. Se io sono uno che si interessa alla fisica, alla relatività ristretta, ai tensori, ma non ho i mezzi per capire cosa ciò voglia dire, mi passerà subito la sete di conoscenza. Inoltre vorrei ricordare che Teknopedia è un enciclopedia, e un'enciclopedia non è fatta per essere consultata da chi capisce ciò che cerca, ma da chi vuole conoscere ciò che cerca e saperne di più su ciò che gli piace. In conclusione, vi prego di aggiungere semplificazioni per chi non è esperto come chi ha scritto questa pagina. grazie. --Alecav1411 (msg) 19:19, 28 gen 2011 (CET)[rispondi]

Assenti gli indici dei vettori e dei covettori dalla definizione, sarebbe molto meglio fare una definizione più simile a quella della pagina in inglese, molto più chiara e che utilizza le basi degli spazi duali e vettoriali, naturalmente con gli indici diversi j e i o come li volete chiamare! Tra le altre cose gli indici poi fanno ricomparsa in seguito.

Sposto qui il testo che è stato probabilmente estrapolato da una delle tante voci sui tensori. L'introduzione al calcolo differenziale che è stata spostata qui non mi sembra scritta in modo sufficientemente chiaro, inoltre una introduzione al calcolo differenziale va sotto il paragrafo "campo tensoriale" che è più sotto. Scusate se faccio il pignolo, ma wikipedia contiene (in tutte le lingue) decine di voci bruttine (e quindi inutili) sui tensori e nello scrivere un pezzo dobbiamo fare il massimo sforzo di chiarezza. Ylebru dimmela 22:21, 28 mar 2011 (CEST) ---[rispondi]

Lo stesso argomento in dettaglio: Calcolo tensoriale.

In geometria differenziale, il calcolo differenziale assoluto ne costituisce la branca che studia le regole di calcolo differenziale applicato ai tensori, entità geometriche definite attraverso la sua legge di trasformazione per cambiamenti generali di coordinate:

${\displaystyle T_{\sigma ...\beta }^{'\tau ...\theta }={\frac {\partial x'^{\tau }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial x'^{\theta }}{\partial x^{\rho }}}...{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\sigma }}}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x'^{\beta }}}T_{\nu ...\alpha }^{\mu ...\rho }}$,

Un tensore è nullo rispetto ad un certo sistema di coordinate se e solo se esso è nullo in ogni possibile sistema di coordinate. Questo aspetto dei tensori li rende perfetti a rappresentare le grandezze fisiche nel rispetto del principio di covarianza. Una volta che il calcolo tensoriale è implementato nella teoria della relatività, il principio di covarianza può essere espresso nella forma equivalente secondo la quale le grandezze utilizzate nella descrizione di un sistema fisico devono essere espresse in forma tensoriale.
Per poter applicare un operatore differenziale su un generico tensore ed ottenere come risultato ancora un tensore si deve generalizzare la definizione di operatore differenziale a quella di operatore differenziale covariante, o derivata covariante: tale generalizzazione è possible con l'introduzione di una connessione ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$, definita dalla sua legge di trasformazione come

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{'\sigma }={\frac {\partial x'^{\sigma }}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x'^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x'^{\nu }}}\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }+{\frac {\partial x'^{\sigma }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\theta }}{\partial x'^{\mu }\partial x'^{\nu }}}}$,

grazie alla quale l'espressione

${\displaystyle D_{\alpha }T_{\sigma ...\beta }^{\tau ...\theta }=\partial _{\alpha }T_{\sigma ...\beta }^{\tau ...\theta }+\Gamma _{\rho \alpha }^{\tau }T_{\sigma ...\beta }^{\rho ...\theta }+...+\Gamma _{\rho \alpha }^{\theta }T_{\sigma ...\beta }^{\tau ...\rho }-\Gamma _{\sigma \alpha }^{\rho }T_{\rho ...\beta }^{\tau ...\theta }-...-\Gamma _{\beta \alpha }^{\rho }T_{\sigma ...\rho }^{\tau ...\theta }}$

definisce un'operazione che operando su tensori dà come risultato tensori, e lo fa rispettando l'algebra delle derivate (linearità e regola di Leibniz), ed è, dunque, una derivata tensoriale. La definizione di derivata tensoriale poggia sulla definizione di connessione, che non è un tensore, ed è proprio questa sua non tensorialità che va a compensare la non tensorialità della derivata parziale, per ripristinare la tensorialità dell'intera derivata tensoriale.

Tuttavia, il principio di covarianza richiede che le grandezze fisiche siano espresse attraverso tensori, e il fatto che la connessione non sia un tensore impone che si cerchino delle entità ad essa equivalenti ma che siano entità tensoriali. Le grandezze definite come

${\displaystyle Q_{\mu \nu }^{\sigma }=\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }}$

e

${\displaystyle G_{\lambda \mu \nu }^{\sigma }=\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda \nu }^{\sigma }-\partial _{\nu }\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }+\Gamma _{\rho \mu }^{\sigma }\Gamma _{\lambda \nu }^{\rho }-\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }\Gamma _{\lambda \mu }^{\rho }}$

chiamate rispettivamente tensore di Cartan e tensore di Riemann sono due tensori in un certo qual modo equivalenti alla connessione, in quanto essi sono entrambi nulli se e solo se esiste un sistema di riferimento in cui la connessione è nulla.

Questi due tensori sono tensori fondamentali, e sono in generale accompagnati da un altro tensore fondamentale, la derivata covariante del tensore metrico ${\displaystyle D_{\alpha }g_{\mu \nu }}$.

I tensori ${\displaystyle Q_{\mu \nu }^{\sigma }}$, ${\displaystyle G_{\lambda \mu \nu }^{\sigma }}$ e ${\displaystyle D_{\alpha }g_{\mu \nu }}$ sono i tre tensori in base al cui annullamento si classificano le connessioni in geometria: una geometria in cui ${\displaystyle D_{\alpha }g_{\mu \nu }=0}$ si dice a connessione metrica; se ${\displaystyle Q_{\mu \nu }^{\sigma }=0}$ si ha la connessione simmetrica; se ${\displaystyle G_{\lambda \mu \nu }^{\sigma }=0}$ la connessione è teleparallela: una connessione metrica e simmetrica è la connessione di Levi-Civita, una connessione metrica e teleparallela è la connessione di Weitzenböck. Si noti che benché si sta parlando di connessioni, le diverse geometrie sono classificate in base all'annullamento di tensori, e dunque rispettando il principio di covarianza. ---

Il seguente passaggio mi ha provocato un certo fastidio :

".....Al mutare del sistema di riferimento le componenti di un tensore, come quelle di un vettore, sono modificate da leggi precise.

Questa nozione fisica di tensore come "oggetto non dipendente dal sistema di riferimento" è utile ad esprimere ......."

Non si potrebbe spiegare meglio quella che sembra essere una seria contraddizione?demaag (msg) 14:18, 30 mar 2011 (CEST)[rispondi]

Il tensore non muta, le sue coordinate (=componenti) sì. Ho comunque provato a riformulare. Ylebru dimmela 14:55, 30 mar 2011 (CEST)[rispondi]

In questa pagina un tensore viene definito anteponendo gli argomenti vettoriali a quelli covettoriali, questa non è una notazione standard (confrontare con l'analoga pagina in inglese). Ad esempio, un tensore come la curvatura di ricci viene usualmente definito come un tensore di tipo ${\displaystyle (0,2)}$ (anche nella pagina di wikipedia italiana), invece con questa definizione dovrebbe essere di tipo ${\displaystyle (2,0)}$, in quanto esso è una forma bilineare su ${\displaystyle V}$, non sul duale. Tra l'altro, volendo essere coerenti con questa convenzione inusuale, la posizione degli indici dovrebbe essere invertita. Un vettore possiede solo indici di riga e viene di solito indicato ${\displaystyle v^{i}}$ (secondo la notazione che vuole gli indici di riga di una matrice in alto), dunque se si lascia invariata la posizione degli indici il lettore è indotto a pensare che esso sia un ${\displaystyle (1,0)}$-tensore, quando invece un vettore è un funzionale sul duale (tramite l'isomorfismo canonico). Ancora, essendo un vettore controvariante, un tensore di tipo ${\displaystyle (0,k)}$ (con le convenzioni di questa pagina) dovrebbe essere un tensore controvariante.

Ok, forse ho scelto io una convenzione a caso tanto tempo fa senza consultare libri. Inverti pure gli indici, grazie del contributo! Ylebru dimmela 01:51, 13 apr 2014 (CEST)[rispondi]

A mio parere nei primi paragrafi dell'articolo che ho letto vi sono alcune incongruenze. La definizione di tensore come applicazione multilineare è corretta, però poi nel paragrafo "coordinate rispetto a una base" gli h indici in alto del coefficiente, che sono in corrispondenza di h vettori della base di V (che determinano l'indice di covarianza), dovrebbero essere scambiati con i k in basso che sono invece in corrispondenza di k funzionali lineari della base duale (che determinano l'indice di controvarianza) (tant'è vero che un funzionale lineare che è un'applicazione lineare da V in K è un tensore covariante di ordine 1 e controvariante di ordine 0). Così nel paragrafo successivo "cambiamento di base", in tutte le occorrenze gli indici in alto andrebbero scambiati con quelli in basso.--Stefano Vittorio (msg) 23:26, 20 mag 2019 (CEST)[rispondi]

Vero, è stato notato anche da qualcun altro sopra. Passavo un po' per caso e ho cercato di rimettere tutti gli indici a posto. Controllate please. Ylebru dimmela 11:48, 25 nov 2024 (CET)[rispondi]

Gentili utenti,

ho appena modificato 1 collegamento esterno sulla pagina Tensore. Per cortesia controllate la mia modifica. Se avete qualche domanda o se fosse necessario far sì che il bot ignori i link o l'intera pagina, date un'occhiata a queste FAQ. Ho effettuato le seguenti modifiche:

• Aggiunta del link all'archivio https://web.archive.org/web/20080612201820/http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2004/Ucau040924d002 per http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2004/Ucau040924d002

Fate riferimento alle FAQ per informazioni su come correggere gli errori del bot.

Saluti.—InternetArchiveBot (Segnala un errore) 00:02, 24 giu 2019 (CEST)[rispondi]