Teorema di Helmholtz

In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione di questo risultato, laddove, invece che campi vettoriali in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, si considerino forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto.^[1] Poiché ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita all'infinito delle forme differenziali presenti.

Sia ${\displaystyle \mathbf {F} }$ un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$. Allora ${\displaystyle \mathbf {F} }$ può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale ${\displaystyle \nabla \varphi }$ e di un campo vettoriale solenoidale ${\displaystyle \nabla \times \mathrm {A} }$:^[2]

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

dove ${\displaystyle \nabla }$ è il gradiente, ${\displaystyle \nabla \times }$ il rotore e:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$

sono detti potenziali. In particolare, ${\displaystyle \varphi }$ è il potenziale scalare, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ il potenziale vettore.

Nel caso in cui ${\displaystyle V}$ coincida con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ e ${\displaystyle \mathbf {F} }$ si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:^[3]

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}\,\nabla \left(\int _{V}{{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}\,\operatorname {d} V'}\right)+{\frac {1}{4\pi }}\,\nabla \times \left(\int _{V}{{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}\,\operatorname {d} V'}\right)}$

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate ${\displaystyle \mathbf {r} }$ all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate ${\displaystyle \mathbf {r'} }$.

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ e ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$, e vale la condizione:

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right|=\mathbf {F} _{\infty }\qquad \left|\mathbf {F} _{\infty }\right|<\infty }$

allora ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}\,\int _{V}{\nabla {\Biggl (}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}{\Biggr )}\;\operatorname {d} V'}+{\frac {1}{4\pi }}\,\int _{V}{\nabla \times {\Biggl (}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}{\Biggr )}\;\operatorname {d} V'}}$

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che ${\displaystyle \Omega }$ sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile ${\displaystyle \mathbf {u} \in (L^{2}(\Omega ))^{3}}$ possiede una decomposizione ortogonale:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

dove ${\displaystyle \varphi }$ appartiene allo spazio di Sobolev ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$ delle funzioni a quadrato sommabile su ${\displaystyle \Omega }$ le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre ${\displaystyle \mathbf {A} }$ appartiene allo spazio di Sobolev ${\displaystyle H(\operatorname {curl} ,\Omega )}$ dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi ${\displaystyle \mathbf {u} \in H(\operatorname {curl} ,\Omega )}$ leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$

dove ${\displaystyle \varphi \in H^{1}(\Omega )}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} \in (H^{1}(\Omega ))^{d}}$.

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

• Campo vettoriale
• Campo vettoriale conservativo
• Campo vettoriale solenoidale
• Derivata parziale
• Divergenza
• Equazioni di Maxwell
• Funzione a quadrato sommabile
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia
• Gradiente
• Quadripotenziale
• Rotore (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Teoria di Hodge

• (EN) Eric Weisstein, MathWorld - Helmholtzs Theorem, su mathworld.wolfram.com, 2010.

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