Rappresentazione simplettica

Nel settore della matematica della teoria della rappresentazione dei gruppi, una rappresentazione simplettica è una rappresentazione di un gruppo o di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale simplettico (V, ω) che conserva la forma simplettica ω. Dove ω è una forma bilineare simplettica

${\displaystyle \omega \colon V\times V\to \mathbb {F} }$

dove F è il campo scalare. Una rappresentazione di un gruppo G conserva ω se:

${\displaystyle \omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)}$

per tutti i g in G e i v, w in V, mentre una rappresentazione di un'algebra di Lie g preserva ω se:

${\displaystyle \omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0}$

per tutti gli ξ in g e i v, w in V. Così una rappresentazione di G (o di g) è un omomorfismo fra G (o algebra di Lie g) e un gruppo simplettico Sp (V, ω) (o la sua algebra di Lie Sp (V, ω))

Fissata una base, ${\displaystyle \omega }$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.

In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale ${\displaystyle V}$ di dimensione pari dotato di una funzione ${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$ tale che, per ogni ${\displaystyle v,v',w,w'}$ in ${\displaystyle V}$ e per ogni ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)}$

${\displaystyle \omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')}$

${\displaystyle \omega (v,w)=-\omega (w,v)}$

${\displaystyle \omega (v,w)=0}$ per ogni ${\displaystyle w}$ implica ${\displaystyle v=0}$

In altre parole, ${\displaystyle \omega }$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. ${\displaystyle V}$ munito della forma ${\displaystyle \omega }$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, ${\displaystyle \omega }$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare.

• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
• Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

• Matrice simplettica
• Matrice ortogonale
• Matrice unitaria
• Meccanica hamiltoniana
• Gruppo simplettico
• Spazio vettoriale simplettico
• Trasformazione canonica
• Varietà simplettica

• Introduzione alla geometria simplettica (PDF), su alpha01.dm.unito.it. URL consultato il 29 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 21 settembre 2006).
• Strutture di Poisson e strutture complesse (PDF), su caressa.it.

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