Fibrato vettoriale essenzialmente finito

In matematica, un fibrato vettoriale essenzialmente finito è un particolare tipo di fibrato vettoriale definito da Madhav Nori,^[1][2] come lo strumento principale nella costruzione dello schema in gruppi fondamentale. Anche se la definizione non è intuitiva, esiste una bella caratterizzazione che rende i fibrati vettoriali essenzialmente finiti oggetti del tutto naturali da studiare in geometria algebrica. La seguente nozione di fibrato vettoriale finito è dovuta ad André Weil ed è necessaria per definire i fibrati vettoriali essenzialmente finiti.

Sia ${\displaystyle X}$ uno schema e ${\displaystyle V}$ un fibrato vettoriale su ${\displaystyle X}$. Dato un polinomio ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$ con coefficienti non negativi si definisce

${\displaystyle f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}.}$

Quindi ${\displaystyle V}$ si dice finito se esistono due polinomi distinti ${\displaystyle f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$ per cui ${\displaystyle f(V)}$ è isomorfo a ${\displaystyle g(V)}$.

Le due definizioni seguenti coincidono quando ${\displaystyle X}$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto.

Un fibrato vettoriale si dice essenzialmente finito se è il nucleo di un morfismo ${\displaystyle u\colon F_{1}\to F_{2}}$ dove ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ sono fibrati vettoriali finiti secondo la definizione precedente.^[3]

Un fibrato vettoriale è essenzialmente finito se è un sottoquoziente di un fibrato vettoriale finito nella categoria dei fibrati vettoriali Nori-semistabili.^[1]

• Sia ${\displaystyle X}$ uno schema ridotto e connesso su un campo perfetto ${\displaystyle k}$ dotato di una sezione ${\displaystyle x\in X(k)}$. Un fibrato vettoriale ${\displaystyle V}$ su ${\displaystyle X}$ è essenzialmente finito se e solo se esiste uno schema in gruppi finito ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle k}$ e un ${\displaystyle G}$-torsore ${\displaystyle p\colon P\to X}$ che banalizza ${\displaystyle V}$ (cioè ${\displaystyle p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}}$, dove ${\displaystyle r=\mathrm {rk} (V)}$).
• Quando ${\displaystyle X}$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto con un punto ${\displaystyle x\in X(k)}$ allora la categoria ${\displaystyle EF(X)}$ dei fibrati vettoriali essenzialmente finiti dotati del consueto prodotto tensoriale ${\displaystyle \otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}}$, l'oggetto banale ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ e il funtore fibra ${\displaystyle x^{*}}$ forma una categoria tannakiana.
• Lo schema in gruppi affine ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ su ${\displaystyle k}$ naturalmente associato alla categoria tannakiana ${\displaystyle EF(X)}$ è chiamato schema in gruppi fondamentale.

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