Discussione:Teoremi di incompletezza di Gödel

La geometria euclidea è veramente completa? Per quel che ricordo il 5° postulato ("per un punto dato passa una ed una sola retta parallela ad un altra") è arbitrario, e supponendolo differente esso da origine a sistemi geometrici altrettanto validi. Quindi risulta che la geometria euclidea senza il 5° postulato non è abbastanza potente da descrivere tutto, ma nemmeno con il 5° postulato, in quanto omette le geometri riemaniane etc.. Qualcuno potrebbe chiarire?

Non ne so molto ma se elimini o modifichi il 5° postulato ottieni una geometria che non è più euclidea, quindi se vuoi la geom euclidea devi tenere il 5° postulato e quindi il problema non si pone. Hellis 23:47, Lug 1, 2005 (CEST)

Ma il punto è che la geometria non euclidea è altrettanto valida. Ad esempio, poenendo il 5° postulato se definito come "per un punto non passa nessuna retta parallela ad una data" definisce una geometria che è altrettanto esatta di quella euclidea, semplicemente, cambiano i concetti di Piano e Punto, che diventando, grossolanamente, corrispondenti ad una sfera ed ad una corda. La geometria euclidea non gestisce questa visione, il che la rende un sistema incompleto (che non significa che sia inutile, semplicemente che non è in grado di abbracciare tutto ciò che è corretto), ma per far si che il sistema sia completo essa deve definire contemporaneamente differenti 5° postulati, diventando incoerente, quindi il teorema di godel rimane valido in entrambi i casi. C'è una bella trattazione dell'argomento in "Godel, Escher, Bach, un eterna ghirlanda brillante" di Douglas Hofstadter

Magari mi sbaglio (sono un fisico e non un matematico) ma direi che dobbiamo specificare cosa si intende per "completezza di un sistema". Nessun insieme di postulati può abbracciare tutto ciò che è corretto, il massimo che può fare è essere non incoerente (e magari anche essere utile). La geometria euclidea credo sia un sistema coerente e credo lo siano anche la geometria riemanniana e quella iperbolica. Eliminando il quinto postulato invece non si ottiene nessuna delle tre e abbiamo a che fare con un sistema che ammette proposizioni indecidibili.--J B 16:50, Ago 31, 2005 (CEST)

Vedi sotto. Dato che posso rappresentare l'aritmetica tramite segmenti, se la geometria fosse completa, lo sarebbe pure l'aritmetica. --BW Insultami 07:25, Set 1, 2005 (CEST)

State sbagliando tutti. La geometria di Euclide è un sistema bacato dall'origine. Gli assiomi non sono sufficienti a dimostrare quasi nulla. Guardate invece gli assiomi di Hilbert.

Ho commentato quanto segue:

1. Il teorema non implica che ogni sistema di assiomi abbastanza interessante sia incompleto. Ad esempio la geometria euclidea può essere assiomatizzata in modo da essere un sistema completo. (Di fatti, gli assiomi originali di Euclide si avvicinano molto all'essere una assiomatizzazione completa. Gli assiomi mancanti esprimono proprietà talmente ovvie che se ne è notata la mancanza solamente nel momento in cui è sorta l'esigenza di scrivere dimostrazioni formali.)

In realtà, l'assiomatizzazione della geometria sposta il problema della completezza dalla geometria all'aritmetica: infatti è possibile rappresentare l'aritmetica nella geometria: se questa fosse completa, lo sarebbe anche l'aritmetica, in contraddizione con il primo teorema. Un po' come la rappresentazione delle geometrie non euclidee con cerchi e linee sposta la correttezza di queste a quella della geometria euclidea. --BW Insultami 07:24, Set 1, 2005 (CEST)

Godel dimostrò che in ogni sistema formale esiste almeno un teorema indimostrabile partendo dagli assiomi del sistema stesso. Viene però spesso precisato, ritengo a ragione, che l'incompletezza risulta valida solamente all'interno del sistema, in quanto un teorema, indimostrabile al suo interno, è chiaramente (come, tramite intuizione?) vero se analizzato dall'esterno. Questo sembrò quindi chiudere la controversia sul secondo dei Problemi di Hilbert (anche se poi sembra non lo riguardi del tutto, mi pare di capire), che invece ripresero successivamente Turing e Church. Questi ultimi formalizzarono il concetto secondo cui per ogni problema calcolabile esiste un sistema computazionale capace di risolverlo. Ecco: da ignorante quale sono, questo mi pare in contraddizione con quello che teorizzava Godel. Sapendo che probabilmente invece non è cosi, sarei felice di vedere chiariti i miei dubbi atroci! XD Grazie mille in anticipo! --Blaekflauer (msg) 23:19, 11 feb 2010 (CET)[rispondi]

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    * (corr) (prec) 15:47, 9 mar 2006 87.1.93.4 (Discussione | blocca)

Secondo me questa parte è scorretta:

Schema della dimostrazione del secondo teorema [modifica]

... quindi p può essere dimostrato nel sistema. Questa contraddizione implica che il sistema deve essere incoerente...

Secondo me andrebbe sostituita con: "poichè l'affermazione 'p non è dimostrabile' è equivalente allo stesso enunciato p, segue che se la coerenza fosse dimostrabile allora p sarebbe dimostrabile (modus ponens). Da questo segue infine che la coerenza non può essere dimostrata nel sistema." Non si tratta di una contraddizione, e non implica assolutamente che l'aritmetica sia incoerente!!!

Esiste una specie di ripetizione all'interno della voce:
"L'esistenza di un enunciato indecidibile all'interno di un sistema formale non è un fatto di per sé stesso particolarmente sorprendente."
e poco sotto
"Il fatto che possano esistere sistemi incompleti non è una scoperta particolarmente sorprendente."
nicola (msg) 17:54, 1 lug 2010 (CEST)[rispondi]

noto che, a causa dell'accorpamento, le parti provengono dalla voce unita non erano correttamente formattate in LaTeX e quindi ci sono parti correttamente formattate (es. ${\displaystyle \lnot \varphi }$) e parti non formattate e quindi poco comprensibili ("-> P |- r(x)", "-> P|- - r(x)", "P :- G", "-G"). segnalo la discussione anche al progetto Matematica. --valepert 00:29, 8 dic 2010 (CET)[rispondi]

sposto qui dalla voce

• Articoli e saggi del Prof. Piergiorgio Odifreddi: Il teorema di Gödel e l'I.A.
• Articoli e saggi del Prof. Piergiorgio Odifreddi: Metamorfosi di un teorema
• (EN) Articoli e saggi del Prof. Piergiorgio Odifreddi: Godel's mathematics of philosophy (pdf)
• (EN) Articoli e saggi del Prof. Piergiorgio Odifreddi: Gödel for children (pdf)

Ho spostato tutto il paragrafo, frutto di ricerche originali (dato che non cita alcuna delle sue fonti, ciò è da desumere) da parte di un utente non registrato (anonimo con IP 78.13.37.155) in questa pagina: Matrix_(trilogia)#Riferimenti_filmici_ad_altri_soggetti_e_culture. Non è affatto adatto per una pagina sulla Matematica un simile commento su una trama di un film di intrattenimento, peraltro un commento basato solo su speculazioni non comprovate, e di questa lunghezza. Molto meglio semmai che sia la pagina sulla trilogia di Matrix a riferire della possibilità di una citazione dei teoremi di Gödel, visto che riguarda la trama del film e non i teoremi di per sé. Questo spostamento uniforma questo articolo alla serietà dell'omologo su Teknopedia in Inglese. --79.11.245.89 (msg) 07:03, 18 nov 2014 (CET)[rispondi]

In quest'articolo Gianni Riotta cita la voce come incomprensibile. Non saprei da dove cominciare per renderla più chiara. Chi vuol cimentarsi?--ArchEnzo 14:26, 10 gen 2016 (CET)[rispondi]

Gentili utenti,

ho appena modificato 1 collegamento esterno sulla pagina Teoremi di incompletezza di Gödel. Per cortesia controllate la mia modifica. Se avete qualche domanda o se fosse necessario far sì che il bot ignori i link o l'intera pagina, date un'occhiata a queste FAQ. Ho effettuato le seguenti modifiche:

• Aggiunta del link all'archivio https://web.archive.org/web/20050324025823/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Godel.html per http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Godel.html

Fate riferimento alle FAQ per informazioni su come correggere gli errori del bot.

Saluti.—InternetArchiveBot (Segnala un errore) 00:44, 24 giu 2019 (CEST)[rispondi]

Una procedura automatica ha modificato uno o più collegamenti esterni ritenuti interrotti:

• Aggiunta del link all'archivio https://web.archive.org/web/20180506135515/http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/mmg.html per http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/mmg.html

In caso di problemi vedere le FAQ.—InternetArchiveBot (Segnala un errore) 15:26, 21 ott 2021 (CEST)[rispondi]