Coomologia di De Rham

In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.

Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi ${\displaystyle k}$-dimensionali".

Lo stesso argomento in dettaglio: Forma differenziale.

Sia ${\displaystyle M}$ una varietà differenziabile di dimensione ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle k}$ un intero con

${\displaystyle 0\leq k\leq n.}$

Tutte le ${\displaystyle k}$-forme differenziali su ${\displaystyle M}$ formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con

${\displaystyle \Omega ^{k}(M).}$

Questo spazio ha dimensione finita. In particolare, per ${\displaystyle k=0}$ questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Il differenziale esterno di una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ è una ${\displaystyle (k+1)}$-forma, indicata con il simbolo ${\displaystyle d\omega }$. Il differenziale definisce quindi una mappa

${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\longrightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$

che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.

Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \cdots {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{n-1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{n}(M).}$

Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale ${\displaystyle d(d\omega )=0}$ per ogni forma ${\displaystyle \omega }$, ovvero

${\displaystyle d^{2}=d\circ d=0.}$

D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano

${\displaystyle C^{k}(M),Z^{k}(M)\subset \Omega ^{k}(M)}$

i sottospazi formati rispettivamente dalle ${\displaystyle k}$-forme chiuse ed il sottospazio delle ${\displaystyle k}$-forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione

${\displaystyle Z^{k}(M)\subset C^{k}(M).}$

Il ${\displaystyle k}$-esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:

${\displaystyle H^{k}(M)=C^{k}(M)/{Z^{k}(M)}}$

• Raoul Bott e Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90613-3.
• Phillip Griffiths e Joseph Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York, John Wiley & Sons, 1994, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
• Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1983, ISBN 978-0-387-90894-6.

• Coomologia
• Omologia (algebra)
• Forma differenziale

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