Equazione di Laplace

In matematica, l'equazione di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è l'equazione omogenea associata all'equazione di Poisson, e pertanto appartiene alle equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche: le sue proprietà sono state studiate per la prima volta da Laplace. L'equazione riveste particolare importanza nei settori dell'elettromagnetismo, dell'astronomia, della fluidodinamica, e le sue soluzioni differenziabili fino al secondo ordine costituiscono la classe delle funzioni armoniche,^[1] che sono funzioni analitiche.

L'equazione impone che l'operatore di Laplace di una funzione incognita sia nullo. Tale relazione riveste particolare importanza in fisica:^[2]

• Se l'incognita è una concentrazione l'equazione di Laplace è la legge di diffusione di Fick.
• Se l'incognita è una temperatura l'equazione di Laplace è la legge di Fourier per la conduzione del calore.
• Se l'incognita è un potenziale elettrostatico l'equazione di Laplace descrive il problema generale dell'elettrostatica nel caso non siano presenti le sorgenti del campo.^[3]

La soluzione dell'equazione di Laplace nel caso bidimensionale è un problema che viene spesso affrontato utilizzando l'analisi complessa, in particolare tramite mappe conformi, mentre nel caso tridimensionale si può invece utilizzare il metodo di separazione delle variabili.

Sia ${\displaystyle \varphi =\varphi (\mathbf {x} )}$ una funzione definita su un insieme ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Sia la funzione di classe C², cioè derivabile fino al secondo ordine con continuità.

L'equazione di Laplace per ${\displaystyle \varphi }$ ha la forma:^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}$

dove ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ è l'operatore di Laplace o laplaciano, che nello spazio euclideo tridimensionale può avere diverse espressioni, ad esempio la forma: cartesiana, cilindrica e sferica.

L'equazione si trova scritta anche scomponendo il laplaciano:

${\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \cdot \nabla \varphi =0}$

dove ${\displaystyle \operatorname {div} }$ è l'operatore divergenza e ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ è l'operatore gradiente.

Una strategia utilizzata nella soluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari consiste nel trovare inizialmente soluzioni semplici, ed a partire da esse costruire una soluzione complessa che sia combinazione lineare di soluzioni semplici.^[2]

Dal momento che l'equazione di Laplace è invariante sotto rotazione, si cercano soluzioni di tipo radiale, dipendenti solamente dalla variabile:

${\displaystyle r=|\mathbf {x} |=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}}$

Si consideri la funzione:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=v(r)}$

con ${\displaystyle v}$ tale che l'equazione di Laplace per ${\displaystyle \varphi }$ continui a valere.

Poiché:

${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}={\frac {2x_{i}}{2}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {x_{i}}{r}}}$

si ottiene la derivata prima con la regola della catena:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}=v'(r){\frac {x_{i}}{r}}}$

e la derivata seconda applicando la regola del prodotto e la regola del quoziente alla derivata prima:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=v''(r){\frac {x_{i}^{2}}{r^{2}}}+v'(r)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {x_{i}^{2}}{r^{3}}}\right)}$

per ogni ${\displaystyle i}$ e per ogni ${\displaystyle x_{i}}$ non nullo.

Si ha quindi:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =\sum _{i}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=v''(r)+{\frac {n-1}{r}}v'(r)=0}$

Se ${\displaystyle v}$ è diverso da zero si ha:

${\displaystyle {\frac {v''}{v'}}={\frac {1-n}{r}}=\log(v')'}$

e integrando gli ultimi due termini si ottiene:

${\displaystyle v'(r)={\frac {a}{r^{n-1}}}}$

con ${\displaystyle a}$ costante. Di conseguenza, per ${\displaystyle r}$ positivo:

${\displaystyle v(r)={\begin{cases}a\log r+c\qquad n=2\\{\frac {a}{r^{n-2}}}+c\qquad n\geq 3\end{cases}}}$

con ${\displaystyle c}$ costante.

Con un'opportuna scelta delle costanti si definisce la soluzione dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:^[4]

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |\qquad n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)|\mathbf {x} |^{n-2}}}\qquad n\geq 3\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \alpha (n)}$ denota il volume della bolla di raggio unitario in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Condizioni al contorno di Dirichlet.

Il problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace consiste nel trovare una soluzione ${\displaystyle \varphi }$ definita in un dominio ${\displaystyle D}$ e tale che ${\displaystyle \varphi }$ sul bordo di ${\displaystyle D}$ coincida con una funzione assegnata. La relazione tra l'equazione di Laplace e quella del calore può essere data dalla seguente interpretazione fisica del problema di Dirichlet: supponendo che la funzione assegnata sia una temperatura costante nel tempo associata ad ogni punto del bordo di un corpo omogeneo e isotropo, i valori della temperatura all'interno del corpo quando si raggiunge l'equilibrio termico rappresentano la soluzione del problema di Dirichlet.

Lo stesso argomento in dettaglio: Condizioni al contorno di Neumann.

Il problema di Neumann per le equazioni di Laplace è simile al problema di Dirichlet, ma in esso la funzione assegnata non coincide con il valore di ${\displaystyle \varphi }$ sul bordo di ${\displaystyle D}$, ma con la sua derivata normale. La più ovvia interpretazione fisica (e quella dalla quale il problema è stato motivato) corrisponde alla costruzione di un potenziale su un campo vettore conoscendo le variazioni del campo sul bordo.

Esistono anche le condizioni al contorno di terzo tipo o di Robin, ma non sono trattate in questa sede.

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di Green.

Si consideri un sistema descritto dall'equazione di Poisson:

${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$

dove ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ è il laplaciano in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ la sorgente e ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ la soluzione della PDE. Poiché il laplaciano è un operatore differenziale lineare, la soluzione ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ può essere scritta come un integrale esteso alla distribuzione sorgente ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$:

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} '}d\mathbf {x} 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )}$

dove la funzione di Green è la distribuzione ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ che consente di ottenere la risposta del sistema in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ad una sorgente puntiforme, descritta attraverso la delta di Dirac ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$, posta in ${\displaystyle \mathbf {x'} }$:

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

La funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioni è uno strumento spesso utilizzato in fisica, ad esempio nella descrizione dell'interazione di un corpo carico con il campo elettromagnetico generato da una sorgente puntiforme ${\displaystyle \rho }$. In tale contesto, il campo elettrico ${\displaystyle \mathbf {E} }$ è dato dal gradiente del potenziale elettrico ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )}$

e utilizzando l'equazione di Maxwell:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho (\mathbf {x} )}$

si ha l'equazione di Poisson:

${\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=4\pi \rho (\mathbf {x} )}$

Si può allora trovare la soluzione ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ per una distribuzione arbitraria considerando una carica puntiforme ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle \mathbf {x'} }$:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

La funzione di Green in tre dimensioni spaziali per l'equazione di Laplace (in tre variabili) è data in funzione della distanza reciproca tra due punti:^[5]

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}}$

dove ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ sono le coordinate cartesiane standard. L'espressione algebrica della funzione di Green in tale sistema di coordinate è:

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=[(x-x^{\prime })^{2}+(y-y^{\prime })^{2}+(z-z^{\prime })^{2}]^{-{\frac {1}{2}}}}$

Esistono diversi modi per sviluppare tale relazione. Uno di essi è l'espansione di Laplace, data per l'equazione di Laplace in tre variabili in termini della funzione generatrice per i polinomi di Legendre:

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma )}$

dove si sono utilizzate le coordinate sferiche ${\displaystyle \,\!(r,\theta ,\varphi )}$ e ${\displaystyle \gamma }$ è l'angolo tra due vettori arbitrari ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ dato da:

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{\prime }+\sin \theta \sin \theta ^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime })}$

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) F. A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 1) p. 81 (Longmans, London, 1889)
• (EN) B. O. Pierce Elements of the theory of the Newtonian potential function p. 44 (Ginn & co., Boston, 1902)
• (EN) W. E. Byerly Harmonic functions (John Wiley & Sons, New York, 1906)
• (EN) J. G. Leathem Volume and surface integrals used in physics (Cambridge University Press, 1913)
• (EN) O. D. Kellogg Foundations Of Potential Theory (Springer, Berlin, 1929)
• (EN) R. Courant e D. Hilbert Methoden der mathematischen Physik (band 2) (Springer, Berlin, 1924)
• (EN) H. Bateman, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, New York, Dover, 1944, ISBN 978-11-14-49178-6.
• (EN) Philip M. Morse e Herman Feshbach, Methods of Theoretical Physics, New York, McGrawHill, 1953, ISBN 978-00-70-43316-8.

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• Nucleo di Poisson

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Equazione di Laplace

• (EN) Laplace’s equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Laplace, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazione di Laplace, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• R. M. Redhedffer Separation of Laplace's equation (Tesi di Dottorato, MIT, 1948)
• Equazione di Laplace EqWorld
• Maurizio Quadrio equazione di Laplace, tecniche risolutive (Politecnico di Milano)
• Maurizio Quadrio equazione di Laplace, variabile complessa (Politecnico di Milano)

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