Discussione:Spazio compatto

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Bisognerebbe aggiungere una parte introduttiva per i non esperti. --Pokipsy76 12:03, Feb 6, 2005 (UTC)

Fatto, bastava tenere le due righe che avevo messo io :) Ho approfittato per espandere un pò il concetto. Kormoran 03:44, Feb 7, 2005 (UTC)

Ciao Kormoran, nella tua definizione ci sono dei problemi:

1) affinchè sia "buona" bisogna assumere uan nozione di frontiera che includa anche i punti all'infinito (altrimenti R sarebbe compatto) il che non è una cosa standard,

2) in ogni caso definire compatto come insieme chiuso e limitato è una cosa che va bene solo se si specifica a priori che stiamo parlando di R^n con n finito dotato della topologia euclidea standard

3) non è necessario uno spazio metrico e una norma per estendere la nozione di compattezza, basta uno spazio topologico,

Ho notato poi che esiste già una voce "spazio topologico compatto", quindi pensavo che una cosa saggia potrebbe essere avere due voci: una (quella che già esiste) di spazio topologico compatto e l'altra di "insieme compatto" (di R e di R^n) che è quella che si incontra in Analisi 1 e 2, e quindi la voce "compatto" potrebbe rimandare ad una delle due. --Pokipsy76 11:04, Feb 8, 2005 (UTC)

In che senso non è buona? A me pare semplice e diretta, quello che ci vuole per dei profani che capitano sull'articolo e vogliono capire (più o meno, a grandi linee) cos'è un compatto. Di seguito poi c'è la tua definizione, molto più rigorosa, per chi di matematica ne mastica già. Semmai possiamo precisare che la prima definizione (la mia) è una definizione "alla buona" che necessita di ulteriori precisazioni per essere rigorosa. (ma poi: che significa che "R compatto non è una cosa standard"???)
Per quanto riguarda i tuoi tre punti:

1) Un compatto è un insieme che contiene anche tutti i suoi punti di frontiera: questa definizione è esatta ed è buona quanto qualsiasi altra, da un punto di vista matematico. Per spiegare per filo e per segno cosa sia la frontiera di un insieme, c'è il link all'articolo appropriato (ancora da scrivere) che uno si va a vedere.

2) Che i compatti, a certe condizioni, siano gli insiemi chiusi e limitati l'hai scritto TU e non io :P

3) Non conosco la topologia, ma da quello che mi ricordo di analisi 1, per definire un punto di frontiera si impiegavano o le successioni, o i limiti, o gli intorni e tutti questi metodi abbisognavano di poter definire una distanza fra due punti... insomma lo spazio in questione doveva essere metrico.

Mi sembra di ricordare che il prof di analisi accennò anche a questa storia dei ricoprimenti ma fu proprio una toccata e fuga... in effetti la trovo abbastanza incomprensibile. Comunque se riesci ad esporre in modo chiaro e semplice il significato della deinizione di compatto che hai dato usando i ricoprimenti, che è più generica di quelle che conosco io visto che non usa le distanze fra punti, sono d'accordissimo a metterla in cima all'articolo al posto della mia :) Kormoran 02:47, Feb 9, 2005 (UTC)

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Ciao!! Il problema principale di questa storia della frontiera è che l'intera retta reale R non è compatta e stando alla definizione "standard" di frontiera R contiene tutti i suoi punti di frontiera (in effetti contiene tutti i punti in generale). Quindi la definizione che hai dato potrebbe far pensare che R sia un insieme compatto. Detto questo vorrei precisare che secondo me la definizione iniziale deve essere alla maniera di un libro di Analisi1 (e quindi eviterei di esordire subito con la storia dei ricoprimenti), tuttavia bisognerebbe precisare i termini del discorso per far capire che ci troviamo in un contesto da Analisi1: cioè bisognerebbe specificare che parliamo di "un sottinsieme della retta reale"... e poi andrebbe corretta la definizione stessa perchè come spiegavo il contenere i punti di frontiera non è sufficiente a garantire che l'insieme è compatto, per questo parlavo di "chiuso e limitato": è una delle possibili definizioni di compattezza in Analisi1, un altra è quella relativa alle successioni. Un'altra cosa carina potrebbe essere dare un'idea generale (discorsiva) di che cosa si vuole intendere per compattezza... ma non saprei proprio come fare!

--Pokipsy76 11:28, Feb 9, 2005 (UTC)

Io ho parlato di frontiera invece di dare le definizioni proprio perchè era un modo semplice e generale per dire che cos'è un compatto. Possiamo precisare meglio il concetto di frontiera, però questa è una cosa da fare nell'articolo apposta sulla frontiera di un insieme: qui potremmo dare qualche avvertenza, tipo appunto "occhio che su R i punti all'infinito NON sono considerati frontiera"... però i compatti esistono anche su spazi che con R non hanno niente a che vedere. Io cercherei di essere più generale possibile, all'inizio dell'articolo, per poi precisare nel seguito.
Per questo io mi concentrerei per estrarre un senso comune dalla definizione a base di ricoprimenti, che è la più generale; se riusciamo a "rendere l'idea" alla base di quella definizione, allora l'introduzione discorsiva sarà facile e comprensibile da scrivere anche solo con i ricoprimenti. Poi potremmo anche dimostrare l'equivalenza (su Rⁿ) fra le quattro definizioni e poi far vedere con un esempio che quella con i ricoprimenti "funziona" anche dove le prime tre non si possono applicare. Kormoran 15:25, Feb 9, 2005 (UTC)

Il problema è che non è vero che "si dice che un insieme è compatto se comprende in sè tutti i suoi punti di frontiera", il controesempio è R che contiene tutti i suoi punti di frontiera ma non è compatto.

Poi il fatto di essere generali all'inizio ci obbligherebbe a parlare di "spazi topologici" o "spazi metrici" e questo potrebbe andare a scapito dell'intuituitività... A meno che non decidiamo di esordire con un linguaggio completamente discorsivo (qualcosa del tipo: la nozione di compattezza vuole rappresentare l'idea intuitiva di uno spazio da cui cui non si può "scappare via" con l'operazione di limite) però è difficile...

--Pokipsy76 10:23, Feb 11, 2005 (UTC)

Sì, l'introduzione discorsiva sarebbe IMHO la cosa migliore: rende il concetto in modo chiaro per l'utente casuale senza appesantire con dimostrazioni e dettagli, interessanti solo per chi fa matematica e che mettiamo poi nel seguito. Cosa ne dici di: "In parole povere, un insieme è compatto quando nessuna operazione di limite su elementi dell'insieme porta a elementi non appartenenti all'insieme stesso: se un insieme è compatto, allora contiene tutti i suoi punti di frontiera. Il viceversa in generale non è vero." E poi precisiamo in senso matematico con la definizione rigorosa. Kormoran 15:34, Feb 11, 2005 (UTC)

La Norma e la distanza non sono le stesse cose (e quindi non lo sono uno spazio normato e uno spazio metrico). E' vero che da una norma si può sempre ottenere una distanza ponendo d(x,y) = ||x-y||, ma non e' vero che una distanza proviene sempre da una metrica. Io la definizione di compatto l'ho studiata in uno spazio metrico, ma non so dire se può essere esteso ad uno spazio normato. AnyFile 12:56, Ago 12, 2005 (CEST)

Beh, se su uno spazio è definita una norma e se da una norma si può ricavare sempre una distanza, allora siamo a cavallo, no? Però tu dici che può essere definita una distanza su un dato insieme senza che sullo stesso esista una norma, giusto? uhm... per esempio? --Kormoran 15:09, Ago 12, 2005 (CEST)

Salve a tutti. In effetti la definizione di compatto come è ora è sbagliata: un insieme che contiene i suoi punti di frontiera è solo chiuso, manca l'ipotesi limitato. Per quanto riguarda norme e distanze, un qualsiasi sottoinsieme dello spazio (ad esempio, una sfera, o un cerchio) ha una distanza, ma non una norma. Cerco di riassumere le varie esigenze modificando le definizioni in modo che le più generali siano in fondo. Ylebru 22:09, ott 10, 2005 (CEST)

Ecco, direi che così va benissimo, grazie :-) --Kormoran 12:33, ott 11, 2005 (CEST)

Il concetto di "compattezza" riguarda anche la logica di matematica, con riferimenteo al teorema di compattezza: un insieme (anche infinito) di formule del primo ordine è soddisfacibile se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile.

Delinkato (ahia) retta (semmai si potrebbe linkare a numeri reali), piano (qui si riferisce a R², non credo ci sia una voce adeguata) e spazio (che qui sarebbe R³). --“Ricordati…” 17:38, 13 gen 2006 (CET)[rispondi]

Consiglio (dal generale al particolare):

1. Un insieme si dice compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
2. Nel caso di spazi metrici, la definizione coincide con quella di sequenzialmente compatto, ovvero da ogni successione posso estrarre una sottosuccessione convergente
3. Nel caso di spazi finito-dimensionali, sequenzialmente compatto coincide con chiuso e limitato.

dovrebbe essere dal generale al particolare, pero' dobbiamo tenere conto che l'utente medio non e' un esperto di topologia e cerca solamente la definizione in uno spazio finito-dimensionale. Ylebru dimmela 23:05, 15 gen 2006 (CET)[rispondi]

Forse bisognerebbe scrivere un'introduzione accessibile più o meno a tutti che spieghi un po' a cosa servono/perché si studiano gli spazi/insiemi compatti, e mettere le definizioni rigorose in una sezione a parte dell'articolo. --“Ricordati…” 16:14, 16 gen 2006 (CET)[rispondi]

Secondo me bisogna iniziare dalle nozioni che sono più familiari e richiedono i concetti più comuni (cioè la compattezza in R) dopo di che si può piano piano astrarre fino ad arrivare alla definizione più generale possibile. Lo dico perchè l'articolo deve essere accessibile a tutti, e se capita una persona che sta studiando analisi al primo anno e si ritrova la nozione topologica fa molta fatica ad andare avanti.--Pokipsy76 23:44, 19 gen 2006 (CET)[rispondi]

Rimango dell'idea che potrebbe essere utile un incipit più intuitivo, un po' come hanno provato a fare nell'articolo francese. Così anche chi non conosce i concetti di "insieme chiuso", "punto di accumulazione" ecc., riesce a capirci almeno qualcosa. Se poi nel seguito dell'articolo dare prima la definizione astratta oppure illustrare l'esempio specifico dello spazio euclideo, mi sembra una questione secondaria. --“Ricordati…” 15:44, 20 gen 2006 (CET)[rispondi]

Sono d'accordo con l'introduzione intuitiva. Ylebru dimmela 16:38, 20 gen 2006 (CET)[rispondi]

OK, ho provato a modificare un po' l'articolo ispirandomi a fr: e en:. Pensavo di mettere la compattezza successionale (si dice così?) fra i teoremi come in en:, ma non l'ho ancora fatto. --“Ricordati…” 18:38, 20 gen 2006 (CET)[rispondi]

C'era una logica parlare prima di compattezza in spazi euclidei e poi in spazi topoologici astratti: la logica di passare dai casi più concreti, intuitivi e familiari a quelli più astratti e generali (e meno noti). Perchè è stato invertito l'ordine?--Pokipsy76 09:30, 27 feb 2006 (CET)[rispondi]

Tutti e due gli ordini hanno i loro vantaggi: Quello precedente era più "didattico" (dal "concreto" alla generalizzazione astratta). Quello attuale forse è un po' più "enciclopedico", in quanto mette in evidenza che il concetto importante (nella matematica di oggi) è quello astratto. A voler ben vedere, della definizione per lo spazio euclideo si potrebbe benissimo fare a meno, in quanto è solo un termine più breve per dire "chiuso e limitato". Comunque il caso dello spazio euclideo è un esempio importante, e il rimando al Teorema di Heine-Borel è essenziale. Personalmente non ho particolari preferenze, girate la cosa come volete... --“Ricordati…” 11:21, 27 feb 2006 (CET)[rispondi]

Non vedo il vantaggio di mettere prima la definizione astratta: per mettere in evidenza quale sia il concetto importante nella matematica di oggi non è mica necessario metterlo per primo. La questione è: vogliamo che l'articolo sia leggibile e comprensibile dai più? O vogliamo che sia un archivio di informazioni per chi già sa le cose? Io propendo decisamente per la prima opzione.--Pokipsy76 12:24, 27 feb 2006 (CET)[rispondi]

Rimango dell'idea che l'ordine di presentazione sia abbastanza irrilevante in questo caso. Per chi non è esperto ho aggiunto già un po' di tempo fa l'introduzione "intuitiva" (che comunque da per scontata almeno un'idea intuitiva di "insieme" e "successione (convergente)"). Chi vuole capire più a fondo a che cosa serva il concetto di compattezza, ha bisogno inevitabilmente della definizione topologica. Lo spazio euclideo è un ottimo esempio, che può aiutare anche chi di topologia ne sa poco a farsi un'idea del concetto di compattezza. Ma definire "compatto" come sinonimo di "chiuso e limitato" è di scarso interesse: è semplicemente un vocabolo, ma non serve a capire nulla.

Comunque non sono stato io a girare le definizioni, fate come volete... --“Ricordati…” 15:10, 27 feb 2006 (CET)[rispondi]

Ora ho messo prima R^n come esempio, poi la definizione topologica. Così da un lato chi si impressiona a sentire parlare di ricoprimenti aperti può fermarsi prima, d'altronde è ben chiaro che la definizione adoperata nella matematica odierna è proprio quella coi ricoprimenti aperti. Tutti soddisfatti ora? --“Ricordati…” 16:51, 27 feb 2006 (CET)[rispondi]

Come si può fare un esempio di una cosa che non è stata ancora definita?--Pokipsy76 16:06, 13 mag 2006 (CEST)[rispondi]

Ho tolto l'affermazione che uno spazio topologico compatto è sequenzialmente compatto. Non mi sembra sia vera. Osservo che in ogni spazio compatto una successione ha sempre una "sottosuccessione generalizzata" convergente. Ma nulla garantisce che questa "sottosuccessione generalizzata" sia essa stessa una successione. D'altronde la falsità di questa implicazione è affermata qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space#Other_forms_of_compactness Non ho tuttavia sottomano una fonte autorevole. --Fioravante Patrone 23:25, 30 giu 2007 (CEST)[rispondi]

Ciao a tutti! L'introduzione afferma che "...in uno spazio compatto infatti, ogni successione di punti, possiede necessariamente una sottosuccessione che converge ad un punto dello spazio stesso o, in alternativa, ogni sottoinsieme infinito di un compatto possiede un punto di accumulazione.". Ma questo è vero solo se si parla di compatti in spazi metrici, non in assoluto!

Selina, 2 set 2010

In effetti compatto e sequenzialmente compatto sono concetti diversi in spazi non metrici; ho messo due esempi, il primo di c. ma non s.c. , il secondo di un c. ma non s.c..

Ciccio, 20 novembre 2011

A prescindere dal fatto che, IMO, mettere all'inizio la definizione per spazi euclidei è concettualmente sbagliato (infatti, il fatto che i compatti coincidano con i chiusi e limitati non è la definizione di spazi compatti, bensì discende dal teorema di Heine-Borel; questo è perdonabile, visto che un se e solo se può essere assunto come definitorio). A ogni modo, data la definizione originaria (per coperture aperte), non sarebbe bene trattare delle conseguenze valide in OGNI spazio metrico? Con ciò intendo le proprietà per cui, in qualunque spazio metrico, un insieme compatto è chiuso, limitato e gode della proprietà di Bolzano-Weierstrass (ogni suo sottoinsieme infinito ammette in esso almeno un punto di accumulazione). Ovviamente tali proprietà non contraddistinguono i soli compatti, ossia non sono sufficienti (eccetto l'ultima, la proprietà di B-W, che è in questo senso intercambiabile con la definizione di compattezza per coperture aperte).
Per ricapitolare, non sarebbe bene mettere un paragrafo del tipo "condizioni necessarie per la compattezza" che elenchi le suddette tre proprietà? Kamina (msg) 15:13, 19 feb 2011 (CET)[rispondi]