Distribuzione ipergeometrica

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Distribuzione ipergeometrica ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n,h,r)}$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r,h\in \{0,1,...,n\}\ }$
Supporto	${\displaystyle \{\max\{r+h-n,0\},\dots ,\min\{r,h\}\}\ }$
Funzione di densità	${\displaystyle P(k)={{{h \choose k}{n-h \choose r-k}} \over {n \choose r}}}$
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {rh}{n}}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {r(n-r)\,h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {(n-2r)(n-2h)}{n-2}}{\sqrt {\frac {n-1}{r(n-r)\,h(n-h)}}}}$
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta che descrive l'estrazione senza reinserimento di alcune palline, perdenti o vincenti, da un'urna.

L'estrazione con reinserimento (la pallina estratta viene rimessa nell'urna) viene invece descritta dalla distribuzione binomiale.

Ad esempio, estraendo 5 palline da un'urna che ne contiene 3 bianche e 7 nere, il numero di palline bianche estratte è descritto dalla distribuzione ipergeometrica.

La distribuzione ipergeometrica ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n,h,r)}$ descrive la variabile aleatoria che conta, per r elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità n, quanti sono nel sottoinsieme B di cardinalità h. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente h palline bianche e n-h palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento r palline.

La probabilità di ottenere esattamente k elementi in B è

${\displaystyle P(k)={{{h \choose k}{n-h \choose r-k}} \over {n \choose r}}}$.

Questa probabilità, espressa tramite i coefficienti binomiali ${\displaystyle \textstyle {a \choose b}={\frac {a!}{b!(a-b)!}}}$, si può ricavare tramite il calcolo combinatorio:

${\displaystyle \textstyle {n \choose r}}$ è il numero di possibili estrazioni di r elementi da A,

${\displaystyle \textstyle {h \choose k}}$ è il numero di possibili estrazioni di k elementi tra gli h di B,

${\displaystyle \textstyle {n-h \choose r-k}}$ è il numero di possibili estrazioni dei restanti r-k elementi tra gli n-h non in B.

Una definizione equivalente considera gli elementi estratti come un sottoinsieme C di A. In questo modo la cardinalità dell'intersezione ${\displaystyle B\cap C}$ di due insiemi B e C, scelti a caso (con distribuzione uniforme) tra i sottoinsiemi di A con cardinalità fissate, è descritta dalla distribuzione ipergeometrica ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\#A,\#B,\#C)}$.

La formula per la probabilità presenta varie simmetrie, che si possono ricavare scambiando i ruoli che svolgono i quattro insiemi vincenti (B), non vincenti (A-B), estratti (C) e non estratti (A-C). In particolare

• scambiando vincenti con estratti

${\displaystyle P_{n,h,r}(k)=P_{n,r,h}(k)\ }$

• scambiando vincenti con non vincenti

${\displaystyle P_{n,h,r}(k)=P_{n,n-h,r}(r-k)\ }$

• scambiando estratti con non estratti

${\displaystyle P_{n,h,r}(k)=P_{n,h,n-r}(h-k)\ }$

Senza bisogno di fare calcoli con i coefficienti binomiali, il valore atteso di N si può ottenere considerando per ogni elemento b di B la variabile aleatoria ${\displaystyle X_{b}}$ che vale 1 se b viene estratto e 0 altrimenti. In questo modo si ha ${\displaystyle \textstyle N=\sum _{k=1,..,r}X_{k}}$, dove ogni ${\displaystyle X_{k}}$ segue la distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(h/n)}$; anche se, a differenza della distribuzione binomiale, le variabili ${\displaystyle X_{k}}$ non sono indipendenti tra di loro, per la linearità del valore atteso si ottiene

${\displaystyle E[N]=\sum _{k=1,..,r}E[X_{k}]={\frac {rh}{n}}}$.

È possibile procedere nella stessa maniera per calcolare la varianza di N tramite la varianza e la covarianza delle ${\displaystyle X_{b}}$:

${\displaystyle {\text{Var}}(N)=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+\sum _{i\neq j}{\text{cov}}(X_{i},X_{j})={\frac {r(n-r)\,h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}}$;

in particolare, i fattori che compaiono al numeratore sono le cardinalità dei quattro insiemi "estratti", "non estratti", "vincenti" e "non vincenti".

Per una singola estrazione la distribuzione ipergeometrica ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n,h,1)}$ coincide con la distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(h/n)}$.

A differenza della distribuzione ipergeometrica, la distribuzione binomiale ${\displaystyle {\mathcal {B}}(h/n,r)}$ corrisponde ad un processo in cui dopo ogni estrazione la pallina viene reintrodotta nell'urna, lasciando invariata la probabilità di estrarre in seguito una pallina vincente. Per valori di n e h molto grandi rispetto a r, e per h/n non vicino a 0 né a 1, ad ogni estrazione le probabilità restano quasi uguali. In statistica (ad esempio nei sondaggi) questa approssimazione viene accettata per ${\displaystyle h<n/10}$.

La distribuzione ipergeometrica può essere generalizzata considerando differenti le probabilità di estrarre le singole palline, ovvero utilizzando una distribuzione non uniforme sull'insieme A.

Un'altra generalizzazione della distribuzione ipergeometrica è la distribuzione ipergeometrica multivariata, che prevede che nell'urna siano presenti palline di più di due colori, ovvero in cui l'insieme A non è più partizionato nei soli due insiemi B e A-B, ma in ${\displaystyle B_{1},...,B_{s}}$ (insiemi disgiunti la cui unione è A). La distribuzione non descrive più la probabilità che k elementi siano in B e r-k in A-B, bensì la probabilità che k₁ siano in B₁, k₂ in B₂, e così via, per ogni ${\displaystyle (k_{1},...,k_{s})\in \mathbb {N} ^{s}}$ con ${\displaystyle k_{1}+...+k_{s}=r}$:

${\displaystyle P(k_{1},...,k_{s})={{{h_{1} \choose k_{1}}\cdots {h_{s} \choose k_{s}}} \over {n \choose r}}}$.

Questa distribuzione di probabilità si rapporta alla distribuzione multinomiale esattamente come la distribuzione ipergeometrica si rapporta alla distribuzione binomiale.

Un esempio di distribuzione ipergeometrica è dato dal gioco d'azzardo win for Life, in cui su un totale di n=20 numeri disponibili h=10 vengono scelti dal giocatore e r=10 vengono estratti. La probabilità di indovinarne k è governata dalla distribuzione ipergeometrica ${\displaystyle {\mathcal {H}}(20,10,10)}$,

${\displaystyle P(k)=P(10-k)={{{10 \choose k}{20-10 \choose 10-k}} \over {20 \choose 10}}={{10 \choose k}^{2} \over {20 \choose 10}}={\frac {(10!)^{4}}{20!}}\left({\frac {1}{k!(10-k)!}}\right)^{2}}$.

In particolare si possono calcolare facilmente le probabilità di vincita, proporzionali ai quadrati dei coefficienti binomiali ${\displaystyle \textstyle {10 \choose k}}$; ad esempio la probabilità che vengano estratti esattamente 6 (oppure 4) degli elementi scelti è

${\displaystyle P(6)=P(4)={\frac {\left({\frac {10!}{6!4!}}\right)^{2}}{\frac {20!}{10!10!}}}={\frac {44~100}{184~756}}\approx 0,24}$.

• Coefficiente binomiale
• Distribuzione binomiale
• Distribuzione discreta uniforme

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• (EN) William L. Hosch, hypergeometric distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione ipergeometrica, su MathWorld, Wolfram Research.

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