Teorema di corrispondenza

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In algebra, in particolare in teoria dei gruppi e degli anelli, il teorema di corrispondenza mette in relazione i sottogruppi di un gruppo, quozientato ad un sottogruppo normale, ai sottogruppi che contengono sottogruppo normale stesso.^[1]

Il teorema dice infatti che i sottogruppi di ${\displaystyle G}$ che contengono ${\displaystyle N}$ (dove ${\displaystyle N}$ è un sottogruppo normale in ${\displaystyle G}$) sono in biezione canonica con i sottogruppi del gruppo quoziente ${\displaystyle G/N}$.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo e ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ un suo sottogruppo normale. Allora la funzione ${\displaystyle \pi :G\rightarrow G/N}$ proiezione canonica (definita da ${\displaystyle \pi (g)=gN}$, ${\displaystyle \forall g\in g}$) induce una biezione tra ${\displaystyle h(G,N)=\{H\leq G|N\leq H\leq G\}}$ e ${\displaystyle s(G/N)=\{NH\leq G/N\}}$. Questa biezione è data da ${\displaystyle \pi (H)=NH/N.}$ Inoltre tale biezione manda sottogruppi normali di ${\displaystyle G}$ in sottogruppi normali di ${\displaystyle G/N}$ e viceversa.

${\displaystyle \pi }$ è certamente un omomorfismo di gruppi. Posso definire ${\displaystyle \psi :s(G)\rightarrow s(G/N)}$ definita da ${\displaystyle \psi (H)=\pi (H)}$. Ho ${\displaystyle \psi (H)=\{Nh|h\in H\}=NH/N}$ è sottogruppo di ${\displaystyle G/N}$. Inoltre si verifica facilmente che se ${\displaystyle N\leq H}$ allora ${\displaystyle NH=H}$ da cui ${\displaystyle \psi (H)=H/N}$. Per suriettività di ${\displaystyle \pi }$ necessariamente ${\displaystyle \psi \circ \psi ^{-1}=id_{s(G/N)}}$. Calcolo ${\displaystyle \psi ^{-1}\circ \psi |_{h(G,N)}(H)=\psi ^{-1}(H/N)=\{g\in G|Ng=Nh,\exists h\in H\}=\{g\in G|g\in NH=H\}=H}$. Questo dimostra che ${\displaystyle \psi |_{h(G,N)}}$ cioè la restrizione di ${\displaystyle \psi }$ a ${\displaystyle h(G,N)}$ è biezione, da cui la tesi. Si può verificare direttamente che tale funzione preserva la normalità dei sottogruppi.

• Sia ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ il gruppo additivo degli interi. I sottogruppi del gruppo quoziente ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sono in biezione con i sottogruppi di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ che contengono ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$, cioè tutti gli ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle m}$ che divide ${\displaystyle n}$. Quindi i sottogruppi di ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sono tutti e i soli ${\displaystyle m\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle m}$ che divide ${\displaystyle n}$.

È facile vedere che il teorema si può facilmente estendere agli anelli:

Sia ${\displaystyle I\trianglelefteq R}$ un ideale allora la proiezione canonica induce una biezione tra gli ideali di ${\displaystyle R}$ che contengono ${\displaystyle I}$ e gli ideali di ${\displaystyle R/I}$.