In algebra, in particolare in teoria dei gruppi e degli anelli, il teorema di corrispondenza mette in relazione i sottogruppi di un gruppo, quozientato ad un sottogruppo normale, ai sottogruppi che contengono sottogruppo normale stesso.[1]
Il teorema dice infatti che i sottogruppi di che contengono (dove è un sottogruppo normale in ) sono in biezione canonica con i sottogruppi del gruppo quoziente .
Il teorema
[modifica | modifica wikitesto]Sia un gruppo e un suo sottogruppo normale. Allora la funzione proiezione canonica (definita da , ) induce una biezione tra e . Questa biezione è data da Inoltre tale biezione manda sottogruppi normali di in sottogruppi normali di e viceversa.
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]è certamente un omomorfismo di gruppi. Posso definire definita da . Ho è sottogruppo di . Inoltre si verifica facilmente che se allora da cui . Per suriettività di necessariamente . Calcolo . Questo dimostra che cioè la restrizione di a è biezione, da cui la tesi. Si può verificare direttamente che tale funzione preserva la normalità dei sottogruppi.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Sia il gruppo additivo degli interi. I sottogruppi del gruppo quoziente sono in biezione con i sottogruppi di che contengono , cioè tutti gli con che divide . Quindi i sottogruppi di sono tutti e i soli con che divide .
Anelli
[modifica | modifica wikitesto]È facile vedere che il teorema si può facilmente estendere agli anelli:
Sia un ideale allora la proiezione canonica induce una biezione tra gli ideali di che contengono e gli ideali di .
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Giulia M. Piacentini Cattaneo, Algebra. Un approccio algoritmico.