Derivata debole

In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio L¹.

La definizione di derivata debole origina le soluzioni deboli in spazi di Sobolev di problemi differenziali alle derivate parziali, frequenti in diversi settori dell'analisi, in particolare dell'analisi funzionale.

Sia ${\displaystyle u}$ una funzione in ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Si dice che ${\displaystyle v\in L^{1}([a,b])}$ è la derivata debole di ${\displaystyle u}$ se, per ogni ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }([a,b])}$ tale che ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$, vale che:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}$

Questa definizione è motivata dalla tecnica di integrazione per parti.

Lo stesso concetto è generalizzabile per spazi a ${\displaystyle n}$ dimensioni: se ${\displaystyle u}$ appartiene allo spazio delle funzioni localmente integrabili in ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ (cioè fissato un punto ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle u}$ è integrabile in un intorno ${\displaystyle U\subset \Omega }$ di ${\displaystyle x}$), ovvero se ${\displaystyle u\in L_{loc}^{1}(\Omega )}$, allora, dato un multi-indice ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle v\in L_{loc}^{1}(\Omega )}$ è detta ${\displaystyle \alpha }$-esima derivata debole di ${\displaystyle u}$ se per ogni ${\displaystyle \varphi \in C_{C}^{\infty }(U)}$ (spazio delle funzioni infinitamente differenziabili e a supporto compatto), vale che:

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

Se ${\displaystyle u}$ ammette una derivata debole, essa è solitamente indicata come:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}}$

Il concetto di derivata debole ha motivato l'introduzione, nel XX secolo, di nuovi spazi di funzioni: gli spazi di Sobolev.

• La funzione valore assoluto ${\displaystyle u(t)=|t|}$, non differenziabile per ${\displaystyle t=0}$, ammette come derivata debole ${\displaystyle v}$ la funzione segno:

${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\mbox{se }}t>0\\0&{\mbox{se }}t=0\\-1&{\mbox{se }}t<0\end{cases}}}$

• La funzione caratteristica dei numeri razionali o funzione di Dirichlet ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$, che non è differenziabile in nessun punto del dominio, ammette derivata debole nulla: infatti, poiché la misura di Lebesgue di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ è 0, per ogni ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)dt=0}$

• Se due funzioni sono la derivata debole della stessa funzione, allora differiscono su un insieme di misura nulla. Se si considerano classi di equivalenza di funzioni, la derivata debole diventa unica.
• Se una funzione è derivabile in senso tradizionale, allora la derivata e la derivata debole coincidono (sempre a meno di insiemi di misura nulla). Per questo la derivata debole è considerata una generalizzazione della derivata tradizionale. Inoltre, le regole classiche di derivazione di somma e prodotto si estendono immutate alle derivate deboli.

• (EN) David Gilbarg, Neil Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Berlin, Springer, 2001, p. 149, ISBN 3-540-41160-7.
• (EN) Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1998, p. 242, ISBN 0-8218-0772-2.
• (EN) Knabner, Peter; Angermann, Lutz, Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, New York, Springer, 2003, p. 53, ISBN 0-387-95449-X.

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• (EN) Brian Krummel - Definition of Weak derivatives notes (PDF), su dpmms.cam.ac.uk.

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