Teorema di Sylvester

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo ${\displaystyle K}$ dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare ${\displaystyle \phi }$, ovvero una forma bilineare simmetrica.

Due prodotti scalari ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \psi }$ sono detti isometrici (o congruenti) se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo ${\displaystyle T:V\to V}$, cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\psi (T(\mathbf {v} ),T(\mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$

Due vettori ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di ${\displaystyle V}$ sono ortogonali per ${\displaystyle \phi }$ se ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$, e il radicale di ${\displaystyle \phi }$ è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di ${\displaystyle \phi }$ è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è isotropo se ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0}$.

Una base ortogonale di ${\displaystyle V}$ rispetto a ${\displaystyle \phi }$ è una base di vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ che sono a due a due ortogonali. Si consideri ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ e si definisca la segnatura della base come la terna ${\displaystyle (i_{+},i_{-},i_{0})}$ di interi, dove:

• ${\displaystyle i_{+}}$ è il numero di vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ della base per cui ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})>0}$.
• ${\displaystyle i_{-}}$ è il numero di vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ della base per cui ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})<0}$.
• ${\displaystyle i_{0}}$ è il numero di vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ della base per cui ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=0}$.

Una tale definizione non avrebbe senso per ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, perché ${\displaystyle \mathbb {C} }$ non ha un ordinamento naturale.

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, e una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se ${\displaystyle \phi }$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale ${\displaystyle V}$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di ${\displaystyle V}$ per ${\displaystyle \phi }$.
• Due basi ortogonali per ${\displaystyle V}$ hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da ${\displaystyle \phi }$.
• Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono congruenti.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria (congruenza): due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici (congruenti) se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se ${\displaystyle \phi }$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso ${\displaystyle V}$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di ${\displaystyle V}$ per ${\displaystyle \phi }$.
• Due basi ortogonali per ${\displaystyle V}$ contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da ${\displaystyle \phi }$.
• Due prodotti scalari con lo stesso rango sono congruenti.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria (congruenza).

• (EN) D. J. H. Garling, Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, vol. 78, Cambridge, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl 1235.15025.
• (EN) Norman, C.W., Undergraduate algebra, Oxford University Press, 1986, pp. 360–361, ISBN 0-19-853248-2.

• Algoritmo di Lagrange
• Base ortonormale
• Isometria
• Prodotto scalare
• Segnatura (algebra lineare)

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Sylvester, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Sylvester, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Sylvester's law Archiviato il 15 marzo 2012 in Internet Archive. on PlanetMath.

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