Lemma della deformazione

Il lemma della deformazione è un importante risultato nel calcolo delle variazioni, esso è infatti alla base dei metodi variazionali che cercano punti critici tramite il principio del min-max.

Sia ${\displaystyle E}$ uno spazio di Banach e sia ${\displaystyle J:E\to \mathbb {R} }$ un funzionale di classe ${\displaystyle C^{1}}$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale. Sia ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ un valore critico di ${\displaystyle J}$. Allora, esiste ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ tale che per ogni ${\displaystyle 0<\epsilon <\epsilon _{0}}$ esiste una mappa continua ${\displaystyle \eta :\mathbb {R} \times E\to E}$, chiamato flusso associato ${\displaystyle J}$, che soddisfa le seguenti condizioni:

• per ogni ${\displaystyle u\in E}$, ${\displaystyle \eta (0,u)=u}$ (ovvero ${\displaystyle \eta (0,\cdot ):E\to E}$ è l'identità);
• per ogni ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ la mappa ${\displaystyle \eta (t,\cdot ):E\to E}$ è un omeomofismo;
• per ogni ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ed ogni ${\displaystyle u\notin J^{-1}([c_{0}-\epsilon ,c_{0}+\epsilon ])}$ ${\displaystyle \eta (t,u)=u}$;
• per ogni ${\displaystyle u\in E}$, la funzione ${\displaystyle t\to J(\eta (t,u))}$ è monotona decrescente;
• se ${\displaystyle u\in J^{-1}((-\infty ,c+\epsilon ])}$ allora ${\displaystyle \eta (1,u)\in J^{-1}([-\infty ,c-\epsilon ])}$;
• se ${\displaystyle J}$ è pari allora per ogni ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ la mappa ${\displaystyle \eta (t,\cdot )}$ è dispari.^[1][2]

• Kesavan, Srinivasan. Nonlinear functional analysis: a first course. Springer, 2004.

• Calcolo delle variazioni.