Grande dodecaedro troncato

Grande dodecaedro troncato
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	12 decagoni 12 pentagrammi
Nº facce	24
Nº spigoli	90
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-6
Incidenza dei vertici	10.10.5/2
Notazione di Wythoff	2 | 5/2 | 5 2 | 5/3 | 5
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo pentacisdodecaedro stellato
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il grande dodecaedro troncato è un poliedro stellato uniforme avente 24 facce - 12 a forma di decagono e 12 a forma di pentagramma - 90 spigoli e 60 vertici.^[1]

Questo poliedro, che viene spesso indicato con il simbolo U₃₇ e su ogni vertice del quale incidono sempre due decagoni e un pentagramma, è il prodotto del troncamento non del tutto completo del grande dodecaedro; un troncamento totale, ossia una rettificazione, porta infatti al dodecadodecaedro.

Utilizzando la costruzione di Wythoff, il grande dodecaedro troncato si può ottenere utilizzando due famiglie di triangoli di Schwarz: 2 | 5/2 5 e 2 | 5/3 5, ottenendo sempre lo stesso risultato. Allo stesso modo, il grande dodecaedro troncato può essere rappresentato con due diversi simboli di Schläfli: t{5,5/2} e t{5,5/3}.

Considerando un grande dodecaedro troncato di spigolo pari a 1 con il centro situato nell'origine di un sistema di assi cartesiani, le coordinate dei suoi vertici sono:

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)}$,

${\displaystyle (0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})}$,

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})}$.

Il grande dodecadecaedro troncato ha la stessa disposizione di vertici di altri tre poliedri uniformi, ossia il grande rombicosidodecaedro non convesso, il grande dodecicosidodecaedro e il grande rombidodecaedro, nonché di altri due composti uniformi, ossia il composto di sei prismi pentagonali e il composto di dodici prismi pentagonali.

Grande rombicosidodecaedro non convesso	Grande dodecicosidodecaedro	Grande rombidodecaedro
Grande dodecadecaedro troncato	Composto di sei prismi pentagonali	Composto di dodici prismi pentagonali

Come già detto in precedenza, il poliedro in oggetto è il risultato del troncamento di un grande dodecaedro:

Nome	Piccolo dodecaedro stellato	Piccolo dodecaedro stellato troncato	Dodecadodecaedro	Grande dodecaedro troncato	Grande dodecaedro
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Picture

Piccolo pentacisdodecaedro stellato
Tipo	Poliedro stellato
Nº facce	60
Nº spigoli	90
Nº vertici	24
Caratteristica di Eulero	-6
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande dodecaedro troncato
Manuale

Il piccolo pentacisdodecaedro stellato è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande dodecaedro troncato, avente per facce 60 triangoli.

Immaginando il poliedro come composto da 60 facce triangolari intersecanti, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, gli angoli alla base di tali facce, ossia i due angoli acuti, hanno un'ampiezza di ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}})\approx 18,699^{\circ }}$, mentre l'angolo al vertice misura ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{10}}-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}})\approx 142,601^{\circ }}$.^[2]

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande dodecaedro troncato, su MathWorld, Wolfram Research.

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