Teorema di Cheeger-Gromoll

Il teorema di Cheeger-Gromoll, o Teorema dell'anima, è un teorema di Geometria riemanniana che in larga misura riconduce lo studio delle varietà geometriche complete di curvatura sezionale non negative al caso delle varietà compatte (chiuse e finite). Jeff Cheeger e Detlef Gromoll dimostrarono il teorema nel 1972 generalizzando un risultato ottenuto nel 1969 dallo stesso Gromoll e da Wolfgang Meyer. La correlata congettura dell'anima fu formulata da Gromoll e Cheeger nel 1972, e dimostrata da Grigorij Jakovlevič Perel'man nel 1994 in un modo sorprendente e conciso.

Il teorema dell'anima asserisce che

Se (M,g) è una varietà riemanniana connessa e completa con curvatura sezionale K ≥ 0, allora esiste una sottovarietà compatta, totalmente geodetica e convessa S tale che M è diffeomorfa al limite normale di S.

La sottovarietà S è detta anima di (M, g).

L'anima S non è in generale identificata univocamente da (M, g), ma due anime qualsiasi sono isometriche, come ha dimostrato Sharafutdinov nel 1979, usando la retrazione di Sharafutdinov.

Ogni varietà compatta possiede una propria anima. Tuttavia, spesso il teorema è usato solo per varietà non compatte.

Come esempio semplice, si prenda M coincidente con lo spazio euclideo Rⁿ, allora la sua curvatura sezionale è 0 e un punto qualsiasi di M può essere usato come anima di M.

Si consideri ora il paraboloide M = {(x, y, z) : z = x² + y²}, in cui la metrica g è la distanza euclidea ordinaria che si genera dall'immersione dei M in uno spazio euclideo R³. La curvatura sezionale è ovunque positiva. L'origine (0, 0, 0) è un'anima di M. Non tutti i punti x di M sono un'anima di M, dal momento che possiamo avere dei loop geodesici basati su x.

Esaminiamo ora un cilindro infinito M = {(x, y, z) : x² + y² = 1}, di nuovo insieme alla metrica euclidea indotta. La curvatura sezionale è ovunque nulla. Ogni circonferenza "orizzontale" {(x, y, z) : x² + y² = 1} con z fissato è un'anima di M.

La congettura dell'anima, formulata da Cheeger e Gromoll, asserisce che:

Sia S completo, connesso e non compatto con curvatura sezionale K≥0; supponiamo che esista un punto in M in cui la curvatura sezionale (lungo tutte le direzioni sezionali) è strettamente positiva. Allora l'anima di M è un punto; oppure, in termini equivalenti, M è diffeomorfa a Rⁿ.

Perel'man ha dimostrato questa congettura stabilendo che nel caso generale K ≥ 0, la retrazione di Sharafutdinov P : M → S è una sommersione, ovvero una funzione differenziabile tra varietà differenziabili il cui differenziale è ovunque suriettivo.

• Jianguo Cao e Mei-Chi Shaw, A new proof of the Cheeger-Gromoll soul conjecture and the Takeuchi theorem (PDF), su www3.nd.edu. URL consultato il 22 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 20 febbraio 2004).
• Jeff Cheeger e Detlef Gromoll, On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, in Annals of Mathematics. Second Series, vol. 96, 1972, pp. 413–443, DOI:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X (WC · ACNP), MR 0309010.
• Detlef Gromoll e Wolfgang Meyer, On complete open manifolds of positive curvature, in Annals of Mathematics. Second Series, vol. 90, 1969, pp. 75–90, DOI:10.2307/1970682, ISSN 0003-486X (WC · ACNP), MR 0247590.
• Grigori Perelman, Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll (PDF), in Journal of Differential Geometry, vol. 40, n. 1, 1994, pp. 209–212, ISSN 0022-040X (WC · ACNP), MR 1285534, Zbl 0818.53056 (archiviato dall'url originale il 23 luglio 2011).
• V. A. Sharafutdinov, Convex sets in a manifold of nonnegative curvature, in Mathematical Notes, vol. 26, n. 1, 1979, pp. 556–560, DOI:10.1007/BF01140282.

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