Superficie cartesiana implicita

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Una superficie rappresentata implicitamente ha la forma:

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ oppure :${\displaystyle F(x,y,z)=c}$ con c una costante qualsiasi.

Perché la superficie sia regolare almeno una delle sue derivate parziali deve essere non nulla, cioè si deve verificare la condizione:

${\displaystyle F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}\neq 0}$

Una volta appurato che il luogo di zeri della funzione F è non vuoto e che una delle derivate parziali di F è non nulla in un punto, per il teorema delle funzioni implicite è possibile in un intorno di questo punto esprimere la superficie come grafico di una funzione di due variabili, pertanto è garantita la regolarità locale.

Supponiamo che ${\displaystyle F_{z}\neq 0}$, allora l'equazione del piano tangente al punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ della superficie è data:

${\displaystyle F_{x}\cdot (x-x_{0})+F_{y}\cdot (y-y_{0})+F_{z}\cdot (z-z_{0})=0}$

Questo piano ${\displaystyle \Pi \subset \mathbb {R} ^{3}}$ si può descrivere come l'ortogonale della retta generata dal gradiente di F. In simboli ${\displaystyle \Pi =\langle \nabla F\rangle ^{\perp }}$. Per questa ragione il gradiente deve essere non nullo.

I coseni direttori della normale della superficie sono:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {F_{x}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {F_{y}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {F_{z}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}}$

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana esplicita
• Teorema delle funzioni implicite

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