Una superficie rappresentata implicitamente ha la forma:
- oppure : con c una costante qualsiasi.
Perché la superficie sia regolare almeno una delle sue derivate parziali deve essere non nulla, cioè si deve verificare la condizione:
Studio locale
[modifica | modifica wikitesto]Una volta appurato che il luogo di zeri della funzione F è non vuoto e che una delle derivate parziali di F è non nulla in un punto, per il teorema delle funzioni implicite è possibile in un intorno di questo punto esprimere la superficie come grafico di una funzione di due variabili, pertanto è garantita la regolarità locale.
Piano tangente
[modifica | modifica wikitesto]Supponiamo che , allora l'equazione del piano tangente al punto della superficie è data:
Questo piano si può descrivere come l'ortogonale della retta generata dal gradiente di F. In simboli . Per questa ragione il gradiente deve essere non nullo.
Coseni direttori
[modifica | modifica wikitesto]I coseni direttori della normale della superficie sono: