Lemma di Kronecker

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In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. [1] Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

Se è una successione infinita di numeri reali tale che

esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente e si ha che

Dimostrazione

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Siano le somma parziali della successione . Usando la sommazione per parti,

Preso un , si sceglie in modo che per ogni , sempre possibile poiché la successione converge a . Allora il membro destro è:

Ora, facendo tendere all'infinito, il primo termine tende a , che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da . Quindi riassumendo, per ogni si può trovare un tale che

per ogni , e allora per definizione di limite di una successione si ha che

  1. ^ Shiryaev, Albert N. (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.

Voci correlate

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