Insieme positivo e insieme negativo

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In matematica, un insieme si dice positivo (rispettivamente negativo) rispetto alla misura con segno ${\displaystyle \mu }$ se ogni suo sottoinsieme ha misura non negativa (rispettivamente non positiva).

Formalmente, sia dato uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$, con ${\displaystyle X}$ insieme diverso dal vuoto, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ una σ-algebra di sottoinsiemi di X e ${\displaystyle \mu :{\mathfrak {F}}\longrightarrow \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ è una misura con segno.

• Dato un insieme ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X}$, esso si dice positivo se ogni insieme ${\displaystyle E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}}$ è tale che ${\displaystyle \mu (E^{*})\geq 0.}$

In modo analogo è possibile definire un insieme negativo:

• Dato un insieme ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X}$, esso si dice negativo se ogni insieme ${\displaystyle E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}}$ è tale che ${\displaystyle \mu (E^{*})\leq 0.}$

Osservazioni

L'insieme positivo (negativo) non deve essere in alcun modo confuso con insieme di misura positiva (negativa).

1. L'insieme vuoto è sia un insieme negativo che positivo.
2. Ogni sottoinsieme di un insieme positivo (negativo) è ancora positivo (negativo).
3. L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) disgiunti è positiva (negativa).

Le proprietà 2. e 3. implicano che

4.L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) è ancora positiva (negativa)

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