Rendita finanziaria

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Una rendita finanziaria è una successione di importi, chiamate rate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, a intervalli di tempo determinati.

Una rendita S è quindi individuata da tre argomenti:

${\displaystyle R_{k}\;}$ : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza ${\displaystyle t_{k}\;}$

${\displaystyle t_{k}\;}$ : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata ${\displaystyle R_{k}\;}$

${\displaystyle n\;}$: numero di rate totali

e si può indicare con ${\displaystyle S=(R_{k},\;t_{k}\;)}$ dove ${\displaystyle k\;=0,1,2,...,n}$

Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:

${\displaystyle \mathbf {n} }$ : numerosità delle rate

• Se n è un numero finito la rendita si chiama temporanea
  • Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dice certa
  • Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dice vitalizia

• Se n è infinito la rendita si chiama perpetua

${\displaystyle \mathbf {t_{k}} }$ : periodicità e scadenza

• Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita è periodica e la quantità ${\displaystyle p\;=\;t_{k}\;-\;t_{k-1}}$ corrisponde a un periodo:
  • Se p = 1 mese la rendita è detta mensile, se p = 1 anno la rendita è detta annuale, se p = 3 mesi la rendita è detta trimestrale e così via.

• Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita è anticipata
• Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita è posticipata

${\displaystyle \mathbf {R_{k}} }$ : decorrenza

• Se la prima rata viene riscossa (o pagata) all'inizio la rendita è detta immediata.

• Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante ${\displaystyle \;t_{p}}$ successivo a ${\displaystyle \;t_{0}}$, la rendita si dice differita di un periodo p.

Esempio:

È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con una rendita posticipata differita di un periodo p-1

• Una rendita può essere infine a rata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure a rata variabile se non hanno lo stesso valore

Il valore ${\displaystyle \;V(t_{j})}$ di una rendita finanziaria all'istante ${\displaystyle \;t_{j}}$ è la somma dei montanti delle rate con scadenze antecedenti a ${\displaystyle \;t_{j}}$, dei valori attuali delle rate con scadenze successive a ${\displaystyle \;t_{j}}$, ed eventualmente della rata ${\displaystyle \;R_{j}}$ con scadenza ${\displaystyle \;t_{j}}$

Nel caso più generale quindi:

${\displaystyle V(t_{j})=\sum _{k=0}^{j-1}R_{k}\;f(t_{j}\;-\;t_{k})\;+\;R_{j}\;+\sum _{k=j+1}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{j})}$

dove

${\displaystyle f(t_{j}\;-\;t_{k})}$ è il fattore di montante e ${\displaystyle g(t_{k}\;-\;t_{j})}$ è il fattore di sconto nel regime di capitalizzazione prescelto.

Il valore attuale di una rendita è il valore ${\displaystyle \;V(t_{0})}$ calcolato al tempo ${\displaystyle \;t=t_{0}}$ ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Nel caso di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti, nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo ${\displaystyle \;p=t_{k+1}-t_{k}}$, è ${\displaystyle \;i}$, il fattore di sconto per un periodo p è

${\displaystyle g(t_{k}-t_{0})={\frac {1}{(1+i)^{k}}}}$

quindi

${\displaystyle \;V(t_{0})=\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{0})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;{\frac {1}{(1+i)^{k}}}}$

essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante: ${\displaystyle \;R_{0}=0\quad }$ e ${\displaystyle \;R_{1}=R_{2}=...=R_{n}=R}$

${\displaystyle \;V(t_{0})=R\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}}$

osservando che

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}}$ è una serie geometrica di ragione ${\displaystyle v={\frac {1}{(1+i)}}}$

e sapendo che per una serie geometrica

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v^{k}\;=\;v\;{\frac {1-v^{n}}{1-v}}\;=\;\left({\frac {1}{1+i}}\right)\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}\;=\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}=a_{n^{\urcorner }i}}$

Si consideri infatti una rendita periodica posticipata di n rate unitarie, quindi con ${\displaystyle \;R=1}$; il suo valore attuale si indica con ${\displaystyle a_{n^{\urcorner }i}}$ (da leggersi come a posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\displaystyle a_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}}$

quindi il valore attuale ${\displaystyle \;V(t_{0})}$ di una generica rendita di n rate ${\displaystyle \;R}$ costanti e posticipate si può scrivere

${\displaystyle \;V(t_{0})=R\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}=R\cdot a_{n^{\urcorner }i}}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con n pagamenti periodali anticipati; il suo valore attuale si indica con ${\displaystyle {\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}}$ (da leggersi come a anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{\frac {i}{1+i}}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i(1+i)^{-1}}}={\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}}$

quindi il valore attuale ${\displaystyle \;V(t_{0})}$ della generica rendita di n rate ${\displaystyle \;R}$ costanti e anticipate si può scrivere

${\displaystyle \;V(t_{0})=R\cdot {\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}=R\cdot {\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}}$

Valore attuale di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

${\displaystyle \operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}}$

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita posticipata di 900 euro annue, che dura 17 anni, al tasso 7,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha:

i:0.0715;
n:17;
R:900;
V(t_0) =R*(1-(1+i)^-n)/i;

(i)	0.0715
(n)	17
(R)	900
V(t_0)=8696.338623521242

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

${\displaystyle R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}}$

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

${\displaystyle n={\frac {\log {\left({\frac {R}{R-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}}$

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e valore attuale V(t_0) per n anni:

Ad esempio il valore attuale, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 9 rate, ciascuna di 300, è di 1929,868. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del valore attuale. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 7,3% :

V:1929.868;
n:9;
R:300;
to_poly_solve([V =R*(1-(1+r)^-n)/r], [r]);

%union([r=0.07300001206811242],[r=-0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091],[r=-0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=-0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=-0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091])

Valore attuale di una rendita anticipata a rate costanti:

${\displaystyle \operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(i+1\right)\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}}$

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita annua, che ha 10 rate anticipate ciascuna di 1680 al 7%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.07;
n:10;
R:1680;
V(t_0) =R*(1+i)*(1-(1+i)^-n)/i;

(i)	0.07
(n)	10
(R)	1680
V(t_0)=12625.59017798044

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

${\displaystyle R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n+1}}-i-1}}}$

Numero di rate di una rendita anticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

${\displaystyle n={\frac {\log {\left({\frac {Ri}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}+{\frac {R}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}}$

Il montante di una rendita è il valore ${\displaystyle \;V(t_{n})}$ calcolato al tempo ${\displaystyle \;t=t_{n}}$ ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Nel caso del montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo ${\displaystyle \;p=t_{k+1}-t_{k}}$, è ${\displaystyle \;i}$, il fattore di montante è

${\displaystyle \;f(t_{n}-t_{k})=(1+i)^{n-k}}$

quindi

${\displaystyle \;V(t_{n})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;f(t_{n}\;-\;t_{k})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;(1+i)^{n-k}}$

essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante ${\displaystyle t_{n-1}}$, quindi ${\displaystyle \;R_{n}=0}$, e ${\displaystyle \;R_{0}=R_{1}=R_{2}=...=R_{n-1}=R}$

${\displaystyle V(t_{n})=\;R\;\left[(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+....+(1+i)\right]\;=\;R\;\sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}}$

osservando che

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}}$ è una serie geometrica di ragione ${\displaystyle \;r=(1+i)}$

e sapendo che per una serie geometrica

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}r^{k}\;=\;r\;{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\;=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{1-(1+i)}}=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{-i}}=\;(1+i){\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}}$

Si consideri infatti una rendita periodica anticipata di ${\displaystyle \;n}$ rate unitarie, quindi con ${\displaystyle \;R=1}$; il suo montante si indica con ${\displaystyle {\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}}$ (da leggersi come s anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{\frac {i}{1+i}}}=(1+i)\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

quindi il montante ${\displaystyle \;V(t_{n})}$ di una generica rendita di ${\displaystyle \;n}$ rate ${\displaystyle \;R}$ costanti e anticipate si può scrivere

${\displaystyle \;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}=R\cdot {\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con ${\displaystyle \;n}$ pagamenti periodali posticipati; il suo montante si indica con ${\displaystyle s_{n^{\urcorner }i}}$ (da leggersi come s posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

${\displaystyle s_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}$

quindi il montante ${\displaystyle \;V(t_{n})}$ della generica rendita di ${\displaystyle \;n}$ rate ${\displaystyle \;R}$ costanti e posticipate si può scrivere

${\displaystyle \;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=R\cdot s_{n^{\urcorner }i}}$

Montante di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

${\displaystyle \operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\,\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}}$

Ad esempio calcolare il montante di una rendita posticipata di 225 euro annue, che dura 12 anni, al tasso 5,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.0515;
n:12;
R:225;
V(t_n) =R*((1+i)^n-1)/i;

(i)	0.0515
(n)	12
(R)	225
V(t_n)=3612.606469918203

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

${\displaystyle R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}}$

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e montante V(t_n):

${\displaystyle n={\frac {\log {\left({\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{R}}+1\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}}$

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e montante V(t_n) per n anni:

Ad esempio il montante, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 12 rate, ciascuna di 225 euro, è di 3612,606. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del montante. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 5,15% ::

V:3612.606;
n:12;
R:225;
to_poly_solve([V =R*((1+r)^n-1)/r], [r]);

%union([r=0.05149997702944824],[r=-1.296632309996783*%i-1.253146252056517],[r=-1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=-0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=-0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=-0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=1.296632309996783*%i-1.253146252056517])

Montante di una rendita anticipata a rate costanti:

${\displaystyle \operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}}$

Ad esempio calcolare il montante di una rendita annua, che ha 13 rate anticipate ciascuna di 340 euro al 6%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.06;
n:13;
R:340;
V(t_n) =R*(1+i)*((1+i)^n-1)/i;

(i)	0.06
(n)	13
(R)	340
(%o12)	V(t_n)=6805.12241594175

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

${\displaystyle R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}}}$

Nelle sezioni precedenti si è visto che se i pagamenti sono periodici (annui, semestrali, ecc.) e le rate costanti è possibile ricavare formule in forma chiusa per il valore attuale e il montante di una rendita. Tuttavia, nella realtà, le rate possono variare. Se le rate sono variabili ma si ha periodicità delle scadenze e se le rate variano in modo "regolare", si possono ancora ricavare delle formule chiuse. Qui di seguito vengono proposti alcuni casi notevoli, nell'ipotesi di pagamenti annui posticipati.

Una rendita annua posticipata a rate variabili, con rate in progressione aritmetica di ragione ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$ e prima rata ${\displaystyle \displaystyle R}$ (con la condizione che ${\displaystyle R+(n-1)\Delta \geq 0}$), ha valore attuale

${\displaystyle A:=Rv+(R+\Delta )v^{2}+\cdots +(R+(n-1)\Delta )v^{n}=\sum _{k=1}^{n}(R+(k-1)\Delta )v^{k}.}$

dove ${\displaystyle v={\frac {1}{1+i}}}$.

Allora si ha: ${\displaystyle A=R(v+v^{2}+\cdots +v^{n})+\Delta (v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}).}$

La sommatoria tra parentesi del primo addendo è il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata che già conosciamo. Sviluppiamo la sommatoria tra parentesi del secondo addendo. Scriviamo:

${\displaystyle S=v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}}$

${\displaystyle (1+i)S=v+2v^{2}+\cdots +(n-1)v^{n-1}.}$

Consideriamo la differenza tra la seconda e la prima identità:

${\displaystyle iS=v+v^{2}+\cdots +v^{n-1}+v^{n}-nv^{n}}$ ${\displaystyle \Rightarrow S={\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}.}$

Quindi il valore attuale è:

${\displaystyle A=Ra_{{\bar {n}}|i}+\Delta {\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}.}$

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }Ra_{{\bar {n}}|i}+\Delta {\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}={\frac {R}{i}}+{\frac {\Delta }{i^{2}}}.}$

Una rendita annua posticipata di rata ${\displaystyle \displaystyle R>0}$, variabile in progressione geometrica di ragione ${\displaystyle \displaystyle q>0}$, ha valore attuale:

${\displaystyle A:=Rv+Rqv^{2}+\cdots +Rq^{n-1}v^{n}=\sum _{k=1}^{n}Rq^{k-1}v^{k}.}$

Osserviamo che, se ${\displaystyle \displaystyle qv=1}$, allora:

${\displaystyle A=\underbrace {Rv+Rv+\cdots +Rv} _{n{\text{ volte}}}=nRv.}$

Se invece ${\displaystyle qv\neq 1}$, allora - raccogliendo ${\displaystyle \displaystyle Rv}$ a fattor comune - si ha:

${\displaystyle A=Rv\left(1+qv+\cdots +(qv)^{n-1}\right).}$

In parentesi riconosciamo la somma di ${\displaystyle \displaystyle n}$ termini in progressione geometrica di ragione ${\displaystyle \displaystyle qv}$, e quindi:

${\displaystyle A=Rv{\frac {1-(qv)^{n}}{1-qv}}.}$

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }Rv{\frac {1-(qv)^{n}}{1-qv}}={\frac {R}{u-q}},}$

dove ${\displaystyle \displaystyle u=1+i.}$

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• (EN) Jan Pen, Kenneth E. Boulding, Hans Otto Schmitt e Paul Lincoln Kleinsorge, rent, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.