Teoria dei caratteri

In matematica la teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di Burnside.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle K}$ e sia ${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ una rappresentazione del gruppo ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle V}$. Il carattere della rappresentazione ${\displaystyle \rho }$ è, per definizione, la mappa ${\displaystyle \chi _{\rho }\colon G\to K}$ che manda ${\displaystyle g\in G}$ nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo ${\displaystyle \rho (g)}$:

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)={\mbox{Tr}}(\rho (g)).}$

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.

Sia ${\displaystyle \rho }$ una rappresentazione del gruppo ${\displaystyle G}$ sullo spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ e sia ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ il suo carattere allora possiamo dire che:

1. ${\displaystyle \chi (1_{G})}$ è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ infatti:

   ${\displaystyle \chi (1_{G})=\mathrm {Tr} (\rho (1_{G}))=\mathrm {Tr} (1_{\mathrm {GL} (V)})}$

   e dato che ${\displaystyle 1_{\mathrm {GL} (V)}}$ è la matrice identica dello spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
2. ${\displaystyle \chi }$ è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle g}$ sono due elementi di G, si ha ${\displaystyle \chi (g^{-1}xg)=\chi (x)}$. Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
3. Due rappresentazioni ${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ e ${\displaystyle \pi \colon G\to \mathrm {GL} (U)}$ si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo ${\displaystyle \phi \colon V\to U}$ tale che:

   ${\displaystyle \phi \circ \pi (g)\circ \phi ^{-1}=\rho (g)}$

   per ogni elemento ${\displaystyle g}$ del gruppo ${\displaystyle G}$. Quindi se ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \rho }$ sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere (${\displaystyle \chi _{\pi }=\chi _{\rho }}$).
4. Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito di ordine ${\displaystyle n}$ allora ${\displaystyle \chi (g)}$ appartiene al sovracampo di ${\displaystyle K}$ generato dalle radici ${\displaystyle n}$-esime di ${\displaystyle 1}$. Infatti poiché ${\displaystyle g^{n}=1}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$ si ha anche ${\displaystyle \rho (g)^{n}=1}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$ e quindi gli autovalori di ${\displaystyle \rho (g)}$ sono radici ${\displaystyle n}$-esime di ${\displaystyle 1}$.

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali sul campo ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle \pi :G\to \mathrm {GL} (V)}$, ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (W)}$ due rappresentazioni di ${\displaystyle G}$. Se definiamo ${\displaystyle \pi _{g}:=\pi (g)}$ e ${\displaystyle \rho _{g}:=\rho (g)}$, la somma diretta di ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \rho }$ è la rappresentazione

${\displaystyle \pi \oplus \rho :G\to \mathrm {GL} (V\oplus W)}$

definita così:

${\displaystyle (\pi \oplus \rho )_{g}:=\pi _{g}\oplus \rho _{g},}$

dove ${\displaystyle \pi _{g}\oplus \rho _{g}}$ è l'applicazione che manda ${\displaystyle (v,w)}$, appartenente ${\displaystyle V\times W}$, in ${\displaystyle (\pi _{g}v,\rho _{g}w)}$, sempre appartenente a ${\displaystyle V\times W}$.

Si ha evidentemente

${\displaystyle \chi _{\pi \oplus \rho }(g)=\mathrm {Tr} ((\pi \oplus \rho )_{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g}\oplus \rho _{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g})+\mathrm {Tr} (\rho _{g})=\chi _{\pi }(g)+\chi _{\rho }(g),}$

questo per ogni ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ e quindi:

${\displaystyle \chi _{\pi \oplus \rho }=\chi _{\pi }+\chi _{\rho }.}$

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali sul campo ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle \pi :G\to \mathrm {GL} (V)}$, ${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (W)}$ due rappresentazioni di ${\displaystyle G}$. Se definiamo ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{g}}$ e ${\displaystyle \rho (g)=\rho _{g}}$, il prodotto tensoriale di ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \rho }$ è la rappresentazione

${\displaystyle \pi \otimes \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V\otimes _{K}W)}$

definita così:

${\displaystyle (\pi \otimes \rho )_{g}:=\pi _{g}\otimes \rho _{g},}$

dove ${\displaystyle \pi _{g}\otimes \rho _{g}}$ manda

${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\otimes w_{i}}$

in

${\displaystyle \sum _{i}\pi _{g}(v_{i})\otimes \rho _{g}(w_{i}).}$

Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono le matrici di due applicazioni lineari ${\displaystyle f\colon V\to V}$, ${\displaystyle g\colon W\to W}$ rispetto alle basi ${\displaystyle \{v_{i}\ |\ i\}}$ di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \{w_{i}\ |\ i\}}$ di ${\displaystyle W}$, il loro prodotto tensoriale ${\displaystyle f\otimes g}$ è rappresentato dal prodotto di Kronecker di ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, indicato con ${\displaystyle x\otimes y}$, rispetto alla base ${\displaystyle \{v_{i}\otimes w_{j}\ |\ i,j\}}$ di ${\displaystyle V\otimes _{K}W}$.

Dalla proprietà

${\displaystyle \mathrm {tr} (x\otimes y)=\mathrm {tr} (x)\mathrm {tr} (y)}$

segue che

${\displaystyle \chi _{\pi \otimes \rho }=\chi _{\pi }\cdot \chi _{\rho }.}$

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su ${\displaystyle K}$ di dimensione ${\displaystyle n}$, la potenza simmetrica ${\displaystyle m}$-esima di ${\displaystyle V}$ è lo spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$, indicato con ${\displaystyle S^{m}(V)}$, generato dai prodotti simmetrici del tipo ${\displaystyle v_{1}\cdot \dots \cdot v_{m}}$ dove i ${\displaystyle v_{i}}$ appartengono a ${\displaystyle V}$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare ${\displaystyle \varphi :V\to W}$ si può associare la sua potenza simmetrica ${\displaystyle m}$-esima

${\displaystyle S^{m}(\varphi ):S^{m}(V)\to S^{m}(W)}$

mandando ${\displaystyle v_{1}\dots v_{m}}$ in ${\displaystyle \varphi (v_{1})\dots \varphi (v_{m})}$.

Se ${\displaystyle \{e_{1},\dots e_{n}\}}$ è una base di ${\displaystyle V}$ allora una base di ${\displaystyle S^{m}(V)}$ è data dai prodotti ${\displaystyle {e_{1}}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot {e_{n}}^{i_{n}}}$ dove ${\displaystyle i_{1}+\dots +i_{n}=m}$. Si ha quindi:

${\displaystyle \dim _{K}(S^{m}(V))={\binom {n+m-1}{m}}.}$

Ad ogni rappresentazione ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$ possiamo associare la rappresentazione ${\displaystyle S^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (s^{m}(V))}$ definita mandando ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle S^{m}(\rho (g))}$. Se ${\displaystyle m=2}$, si ha

${\displaystyle \chi _{S^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}\left(\chi _{\rho }(g)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right)}$

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ sul campo ${\displaystyle K}$, di dimensione ${\displaystyle n}$ e con la base ${\displaystyle \{v_{1},\dots v_{n}\}}$, la potenza esterna ${\displaystyle m}$-esima di ${\displaystyle V}$ è lo spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$ indicato con ${\displaystyle \Lambda ^{m}(V)}$ e generato dai prodotti multilineari alternanti ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}}$ dove i ${\displaystyle v_{i}}$ sono vettori di ${\displaystyle V}$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione ${\displaystyle \varphi \colon V\to W}$ si può associare la sua potenza esterna ${\displaystyle m}$-esima ${\displaystyle \Lambda ^{m}(\varphi ):\Lambda ^{m}(V)\to \Lambda ^{m}(W)}$ mandando ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}}$ in ${\displaystyle \varphi (v_{1})\wedge \dots \wedge \varphi (v_{m})}$.

Se ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ è una base per ${\displaystyle V}$ allora una base di ${\displaystyle \Lambda ^{m}(V)}$ è data dai prodotti ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \dots \wedge e_{i_{m}}}$ dove ${\displaystyle i_{1}<\dots <i_{m}\in \{1,\dots ,n\}}$. Si ha quindi

${\displaystyle \dim _{K}(\Lambda ^{m}(V))={\binom {n}{m}}}$

Ad ogni rappresentazione ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$ possiamo associare la rappresentazione ${\displaystyle \Lambda ^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (\Lambda ^{m}(V))}$ definita mandando ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle \Lambda ^{m}(\rho _{g})}$. Si ha

${\displaystyle \chi _{\Lambda ^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}(\chi _{\rho }(g)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})).}$

Siano ${\displaystyle (U,\pi )}$, ${\displaystyle (V,\rho )}$ due rappresentazioni del gruppo finito ${\displaystyle G}$ sul campo ${\displaystyle K}$, e sia ${\displaystyle \varphi \colon U\to V}$ un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di ${\displaystyle K}$ non divide l'ordine di ${\displaystyle G}$ definiamo

${\displaystyle \varphi _{0}:={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \pi _{g}^{-1}.}$

Si tratta di un'applicazione K-lineare ${\displaystyle U\to V}$, ed ha la proprietà fondamentale di essere ${\displaystyle G}$-invariante, nel senso che ${\displaystyle \varphi _{0}(\pi _{h}(u))=\rho _{h}(\varphi _{0}(u))}$ per ogni ${\displaystyle h\in G}$, ${\displaystyle u\in U}$.

Nel caso particolare in cui il campo ${\displaystyle K}$ è algebricamente chiuso e le rappresentazioni ${\displaystyle (U,\pi )}$, ${\displaystyle (V,\rho )}$ sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:

1. se ${\displaystyle \pi \not \cong \rho }$ allora ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$;
2. se ${\displaystyle \pi =\rho }$ allora ${\displaystyle \varphi _{0}}$ è la moltiplicazione per lo scalare ${\displaystyle \mathrm {tr} (\varphi )/\dim _{K}(V)}$.

La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto ${\displaystyle \lambda }$ l'autovalore di ${\displaystyle \varphi _{0}}$ si ha

${\displaystyle \lambda \dim _{K}(V)=\mathrm {tr} (\varphi _{0})=\mathrm {tr} \left({\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1}\right)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\varphi )=\mathrm {tr} (\varphi ).}$

Pensiamo ora a ${\displaystyle \pi _{g},\ \rho _{g}}$ come a matrici ed indichiamone le componenti con ${\displaystyle \pi _{ij}(g)}$ e ${\displaystyle \rho _{hk}(g)}$ con ${\displaystyle 1\leq i}$, ${\displaystyle j\leq m}$, ${\displaystyle 1\leq h}$, ${\displaystyle k\leq n}$. Se ${\displaystyle K}$ è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di ${\displaystyle G}$, le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.

1. Se ${\displaystyle \pi \not \cong \rho }$ allora

   ${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\rho _{hk}(g^{-1})=0.}$

2. Se ${\displaystyle \pi =\rho }$ allora

   ${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\pi _{hk}(g^{-1})={\frac {1}{n}}\delta _{ik}\delta _{jh}.}$

Qui il simbolo ${\displaystyle \delta _{ij}}$ è il delta di Kronecker.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo ${\displaystyle G}$ sul campo ${\displaystyle K}$ si scrive come somma di caratteri irriducibili.

Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni ${\displaystyle G\to K}$:

${\displaystyle B(\phi ,\psi ):={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g)\psi (g^{-1}).}$

Il risultato precedente implica che se ${\displaystyle \chi }$ e ${\displaystyle \theta }$ sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito ${\displaystyle G}$ sugli spazi vettoriali ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$, entrambi nel campo ${\displaystyle K}$, il valore di ${\displaystyle B(\chi ,\theta )}$ è 1 se ${\displaystyle \chi =\theta }$ ed è 0 se ${\displaystyle \chi \neq \theta }$. Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.

La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:

1. Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti ${\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{s}}$ caratteri irriducibili distinti del gruppo finito ${\displaystyle G}$, e valga ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s}=0}$ con ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{s}\in K}$. Allora per ogni ${\displaystyle i=1,\dots ,s}$ si ha

   ${\displaystyle 0=B(a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s},\chi _{i})=a_{i}B(\chi _{i},\chi _{i})=a_{i}}$.

2. Il numero di caratteri irriducibili di ${\displaystyle G}$ è minore o uguale del numero di classi di coniugio di ${\displaystyle G}$. Siano infatti ${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{t}}$ le classi di coniugio di ${\displaystyle G}$. Data ${\displaystyle C=C_{i}}$ possiamo considerare la funzione ${\displaystyle f_{C}:G\to K}$ che vale 1 su ${\displaystyle C}$ e 0 fuori da ${\displaystyle C}$. Risulta che le funzioni ${\displaystyle f_{C_{1}},\dots ,f_{C_{t}}}$ sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di ${\displaystyle G}$ sono al più ${\displaystyle t}$.
3. Siano ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \chi }$ i caratteri delle rappresentazioni irriducibili ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle G}$, ed assumiamo che ${\displaystyle \chi }$ sia irriducibile. Allora la molteplicità di ${\displaystyle \chi }$ in ${\displaystyle \theta }$ è uguale a ${\displaystyle B(\theta ,\chi )}$. In altre parole detti ${\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{s}}$ caratteri irriducibili tali che ${\displaystyle \theta =\chi _{1}+\dots +\chi _{s}}$ (esistono per il teorema di Maschke), si ha che

   ${\displaystyle B(\theta ,\chi )=B(\chi _{1},\chi )+\ldots +B(\chi _{s},\chi )}$

   inoltre ${\displaystyle B(\chi _{i},\chi )}$ vale ${\displaystyle 1}$ se e solo se ${\displaystyle \chi _{i}=\chi }$, altrimenti vale ${\displaystyle 0}$. In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
4. Sia ${\displaystyle \chi }$ un carattere di ${\displaystyle G}$. Si ha ${\displaystyle B(\chi ,\chi )\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle B(\chi ,\chi )=1}$ se e solo se ${\displaystyle \chi }$ è irriducibile. Infatti detta ${\displaystyle \chi =m_{1}\chi _{1}+\dots +m_{s}\chi _{s}}$ la decomposizione di ${\displaystyle \chi }$ come somma di caratteri irriducibili, si ha:

   ${\displaystyle B(\chi ,\chi )=m_{1}^{2}+\ldots +m_{s}^{2}.}$

5. Si dice carattere principale di ${\displaystyle G}$ e si indica con ${\displaystyle \chi _{1}}$ o più semplicemente con ${\displaystyle 1}$ il carattere tale che ${\displaystyle \chi _{1}\left(g\right)=1}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$. Si tratta di un carattere irriducibile dato che ${\displaystyle B(1,1)=1}$. Per ogni carattere irriducibile ${\displaystyle \chi }$ diverso da ${\displaystyle 1}$ la prima relazione di ortogonalità dice che ${\displaystyle B(\chi ,1)=0}$, è cioè la seguente uguaglianza:

   ${\displaystyle \sum _{g\in G}\chi (g)=0.}$

6. Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione ${\displaystyle \chi }$ relativo ad un'azione transitiva si ha ${\displaystyle B(\chi ,1)=1}$, ovvero ${\displaystyle \chi =1+\theta }$ per un opportuno carattere ${\displaystyle \theta }$ che non ha 1 nella decomposizione. Siccome

   ${\displaystyle B(\chi -1,\chi -1)=B(\chi ,\chi )-1=r-1}$

   dove ${\displaystyle r}$ è il rango del gruppo di permutazione ${\displaystyle G}$, possiamo per esempio dedurre che ${\displaystyle G}$ è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come ${\displaystyle 1+\theta }$ per qualche carattere irriducibile ${\displaystyle \theta }$ che non ha ${\displaystyle 1}$ nella decomposizione.
7. La rappresentazione regolare di ${\displaystyle G}$ è la rappresentazione lineare associata all'azione di ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle G}$ per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente: ${\displaystyle \chi (g)=0}$ se ${\displaystyle g\neq 1}$, e ${\displaystyle \chi (1)=|G|}$. Siano ora ${\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{s}}$ i caratteri irriducibili di ${\displaystyle G}$. Calcoliamo

   ${\displaystyle B(\chi ,\chi _{i})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi _{i}(g^{-1})={\frac {1}{|G|}}\cdot |G|\cdot \chi _{i}(1)=\chi _{i}(1).}$

   In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di ${\displaystyle G}$ con molteplicità uguale al suo grado. Detto ${\displaystyle n_{i}}$ il grado di ${\displaystyle \chi _{i}}$ per ${\displaystyle i=1,\dots ,s}$, si ha quindi ${\displaystyle n_{1}^{2}+\dots +n_{s}^{2}=B(\chi ,\chi )=|G|}$. Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o ${\displaystyle n}$-esimo teorema di Burnside.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo finito e siano ${\displaystyle \chi _{1},\ldots ,\chi _{s}}$ le sue rappresentazioni irriducibili sul campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi. Dati ${\displaystyle h,g\in G}$ si ha

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}\chi _{i}(h){\overline {\chi _{i}(g)}}=|C_{G}(h)|}$

se ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle g}$ sono coniugati in ${\displaystyle G}$, altrimenti

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}\chi _{i}(h){\overline {\chi _{i}(g)}}=0.}$

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