Segmento iniziale

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In matematica si definisce segmento iniziale (o taglio iniziale, o sottoinsieme chiuso verso il basso) di un dato insieme totalmente ordinato ${\displaystyle (X,<)}$ un qualsiasi suo sottoinsieme ${\displaystyle Y}$ tale che:

${\displaystyle b\in Y\Rightarrow \forall a\in X(a<b\Rightarrow a\in Y)}$

Il nome deriva abbastanza naturalmente dalla "forma" che un tale insieme ha: segmento perché non ha "buchi" - se ${\displaystyle a,b}$ sono in ${\displaystyle Y}$, ogni elemento tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sarà in ${\displaystyle Y}$ - iniziale perché contiene gli elementi di ${\displaystyle X}$ più piccoli.

Casi particolari di segmenti iniziali di un insieme ${\displaystyle X}$ sono ${\displaystyle X}$ stesso e l'insieme vuoto.

Simmetricamente, si definisce un segmento finale (o taglio finale, o sottoinsieme chiuso verso l'alto) mediante la proprietà

${\displaystyle b\in Y\Rightarrow \forall a\in X(b<a\Rightarrow a\in Y)}$

Il segmento iniziale è un oggetto matematico piuttosto utilizzato in alcuni settori della logica.

• I tagli di Dedekind, tipicamente utilizzati per costruire i numeri reali, sono segmenti iniziali (e in realtà tutti i segmenti iniziali) di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• I segmenti iniziali vengono utilizzati in varie dimostrazioni riguardanti i buoni ordini. Infatti:
  • in generale l'unione di ordini non è un ordine
  • l'unione di ordini che sono a due a due inclusi l'uno nell'altro è un ordine, ma se gli ordini sono buoni ordini, il risultato della loro unione non è necessariamente un buon ordine (basti pensare ai sottoinsiemi di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ della forma ${\displaystyle [-n,n]}$, ognuno dei quali è bene ordinato ma la cui unione è ${\displaystyle \mathbb {Z} }$)
  • l'unione di buoni ordini che sono a due a due segmento iniziale l'uno dell'altro invece è un buon ordine

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