Quasi omomorfismo

Un quasi omomorfismo è un'applicazione da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in sé che può essere considerata una generalizzazione degli omomorfismi.

Una funzione ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} }$ si dice quasi omomorfismo se ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} }$ tale che ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle |f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k.}$

Naturalmente se k=0 si è in presenza di un omomorfismo.

Sia ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} }$ un quasi omomorfismo con costante ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$:

• ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} :|f(m\cdot n)-m\cdot f(n)|\leq (|m|+1)\cdot k}$;
• ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} :|n\cdot f(m)-m\cdot f(n)|\leq (|n|+|m|+2)\cdot k}$;
• Ad ogni quasi omomorfismo corrisponde una successione di Cauchy e viceversa.^[1]

Si può definire una relazione tra quasi omomorfismi nel modo seguente:

Siano ${\displaystyle f,g}$ quasi omomorfismi, ${\displaystyle f\sim g\leftrightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,\exists k\in \mathbb {N} }$ tale che ${\displaystyle |f(n)-g(n)|\leq k.}$

Si dimostra facilmente che ${\displaystyle \sim }$ è una relazione d'equivalenza. Si dimostra anche che ad ogni classe di equivalenza di quasi omomorfismi ${\displaystyle [f]_{\sim }}$ corrisponde una classe di successioni di Cauchy ${\displaystyle [a_{n}]}$. Con questo risultato si scopre che è possibile costruire l'insieme dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a partire da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ utilizzando classi di quasi omomorfismi.^[1]

• Morfismo
• Omomorfismo

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