Potenziale scalare

Il potenziale scalare di un dato campo vettoriale è un campo scalare il cui gradiente è uguale a quel campo vettoriale, ed è studiato in matematica applicata, in particolare nel calcolo vettoriale. Storicamente il concetto è nato per descrivere il campo elettrostatico.

Dato un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {V} :\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}}$ di classe ${\displaystyle C^{1}}$, si chiama potenziale scalare una funzione ${\displaystyle \phi :\Omega \to \mathbb {R} }$ di classe ${\displaystyle C^{2}}$ tale che:

${\displaystyle \nabla \phi =-\mathbf {V} }$

ovvero il gradiente di ${\displaystyle \phi }$ è il campo vettoriale stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo. In questo caso il carattere vettoriale del campo ${\displaystyle \mathbf {V} }$ si perde poiché esso può essere descritto da un campo scalare (con conseguente perdita di entropia di informazione),

In modo equivalente, se ${\displaystyle \mathbf {V} }$ è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di ${\displaystyle \mathbf {V} }$ in ${\displaystyle \mathbf {r} }$ rispetto alla posizione ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ è dato dall'integrale di linea:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {V} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {V} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$

dove ${\displaystyle C}$ è una qualsiasi curva regolare a tratti contenuta in ${\displaystyle \Omega }$ che congiunge ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ a ${\displaystyle \mathbf {r} }$:

${\displaystyle a\leq t\leq b\qquad \mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} \qquad \mathbf {r} (b)=\mathbf {r} }$

In tre dimensioni, ponendo ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ e ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in \Omega }$ si ha(a patto che il dominio ${\displaystyle {\ce {\Omega}}}$ sia connesso per spezzate):

${\displaystyle \phi (x,y,z)-\phi (0,0,0)=-\int _{x_{0}}^{x}V_{x}(t,0,0)dt-\int _{y_{0}}^{y}V_{y}(x,t,0)dt-\int _{z_{0}}^{z}V_{z}(x,y,t)dt}$

e le componenti di ${\displaystyle \mathbf {V} }$ sono:

${\displaystyle V_{x}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y,z)}$

${\displaystyle V_{y}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y,z)}$

${\displaystyle V_{z}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}(x,y,z)}$

ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante.

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Per mostrare come si calcola il potenziale di un campo conservativo, illustreremo l'idea del procedimento in dimensione 2 e forniremo poi un esempio in dimensione 3.

Dalla relazione ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y)=f_{1}(x,y)}$, otteniamo ${\displaystyle \phi (x,y)=F_{1}(x,y)+\psi _{1}(y)}$, dove ${\displaystyle F_{1}(x,y)}$ è una qualunque primitiva di ${\displaystyle f_{1}(x,y)}$, ossia che soddisfa ${\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}(x,y)=f_{1}(x,y)}$, mentre ${\displaystyle \psi _{1}(y)}$ è una funzione per il momento incognita che rappresenta la costante di integrazione rispetto a ${\displaystyle x}$ e che dipende solo da ${\displaystyle y}$. Per determinare tale funzione, deriviamo l'ultima relazione rispetto a ${\displaystyle y}$, ottenendo ${\displaystyle {d\psi _{1} \over dy}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=f_{2}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=g(y)}$. Detta ${\displaystyle G(y)}$ una qualunque primitiva di ${\displaystyle g(y)}$, avremo quindi ${\displaystyle \psi _{1}(y)=G(y)+c}$ e dunque in definitiva ${\displaystyle \phi (x,y)=F_{1}(x,y)+G(y)+c}$

Consideriamo il campo vettoriale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,y,z)=2yz\mathbf {i} +2z(x+3y)\mathbf {j} +(y(2x+3y)+2z)\mathbf {k} }$. È immediato verificare che ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {f} =0}$, e dunque che il campo è conservativo.

Integrando la relazione ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y,z)=2yz}$, otteniamo ${\displaystyle \phi (x,y,z)=2xyz+\psi _{1}(y,z)}$. Derivando tale identità rispetto a ${\displaystyle y}$ e usando il fatto che ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y,z)=2xz+6yz}$ otteniamo ${\displaystyle {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial y}}(y,z)=6yz}$, da cui ${\displaystyle \psi _{1}(y,z)=3y^{2}z+\psi _{2}(z)}$. Derivando ora questa identità rispetto a ${\displaystyle z}$ e usando il fatto che ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial z}}(x,y,z)=2xy+3y^{2}+2z}$, otteniamo che ${\displaystyle {d\psi _{2} \over dz}(z)=2z}$, ossia che ${\displaystyle \psi _{2}(z)=z^{2}+c}$. Concludiamo che tutti i potenziali di ${\displaystyle \mathbf {f} }$ sono dati dalla formula ${\displaystyle \phi (x,y,z)=2xyz+3y^{2}z+z^{2}+c}$

Nell'ambito della meccanica classica, secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme, o da un corpo rigido con densità a simmetria sferica (si veda il teorema del guscio sferico), di massa ${\displaystyle m}$, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:

${\displaystyle \mathbf {g} _{(\mathbf {r} )}=-G{\frac {m}{r^{2}}}\!\cdot \!{\hat {\mathbf {u} }}_{r}}$

dove ${\displaystyle r}$ è il modulo della distanza e ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{r}}$ il suo versore, mentre ${\displaystyle G}$ è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale avrà l'espressione:

${\displaystyle w_{(\mathbf {r} )}=-G{\frac {m}{r}}+C={\frac {U_{(\mathbf {r} )}}{m_{r}}}}$

dove ${\displaystyle U_{(\mathbf {r} )}}$ è l'energia potenziale gravitazionale del corpo di massa ${\displaystyle m_{r}}$ posizionato in ${\displaystyle r}$. Per convenzione, la costante additiva ${\displaystyle C}$ si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per ${\displaystyle r}$ tendente all'infinito.

Quando si consideri una fascia limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante (con modulo pari a ${\displaystyle g}$) diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:

${\displaystyle w_{(z)}=gz+C}$

dove ${\displaystyle g}$ è il valore dell'accelerazione di gravità medio in quella regione; si tenga presente che sulla superficie terrestre esso è in media pari a circa 9,81 m/s². La costante ${\displaystyle C}$ può essere scelta arbitrariamente perché all'interno della fascia sono di interesse solo le variazioni di potenziale. L'unità di misura del potenziale gravitazionale è il J/kg (joule su chilogrammo).

Lo stesso argomento in dettaglio: Campo elettrico.

Il fatto che il campo elettrostatico sia rappresentabile come un potenziale scalare è legato al fatto che sia un campo irrotazionale (caso particolare della legge di Faraday per l'elettrostatica):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} _{0}=\mathbf {0} ,}$

infatti in questo caso il teorema del rotore garantisce che un campo di rotore nullo ha un semplice potenziale scalare:

${\displaystyle \mathbf {E} _{0}=-\nabla V,}$

qui ${\displaystyle V}$ è il potenziale scalare che abbiamo associato al campo elettrostatico, chiamato potenziale elettrostatico. L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 volt se la forza elettrica compie il lavoro di 1 joule per portare una carica di 1 coulomb da ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$. Nel caso generale dell'elettrodinamica la legge di Faraday rende invece il campo elettrico rotazionale in modo proporzionale alla variazione nel tempo del campo magnetico:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} _{0}=-{\frac {\partial B}{\partial t}}.}$

D'altra parte, la legge di Gauss magnetica equivale per il teorema della divergenza a dire che il campo magnetico ammette un potenziale vettore:

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Rispetto al caso precedente basta aggiungere un termine:

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$

ossia la legge di Faraday corrisponde ad esprimere il campo elettrico nella seguente funzione dei potenziali elettrostatico e magnetico:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$

Il potenziale elettrico corrisponde all'energia potenziale associata ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

${\displaystyle V_{(r)}={\frac {U_{(r)}}{q}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Flusso potenziale.

In fluidodinamica, un flusso irrotazionale può essere descritto introducendo un potenziale scalare ${\displaystyle \phi }$, tale per cui il suo gradiente corrisponda al campo di velocità. Nel caso in cui il flusso sia anche incomprimibile (flusso potenziale incomprimibile), il potenziale soddisfa l'equazione di Laplace ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica del continuo.

In fluidodinamica e in fluidostatica classiche se viene introdotta la semplificazione di fluido ideale, la pressione è l'energia potenziale per unità di volume delle forze di superficie. In fluidostatica nello stesso tempo lo è anche delle forze di volume.

Lo stesso argomento in dettaglio: Diffusività di materia.

La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, ${\displaystyle \mathbf {D} }$:

${\displaystyle \mathbf {v} =-\nabla D+\Delta v}$.

mentre nel caso generale, in cui il rotore della velocità non è nullo, la velocità è funzione anche di altri parametri legati ad esso.

Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)
• (EN) D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005)

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