Lemma del cerchio grande

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In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un insieme aperto illimitato del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Sia ${\displaystyle f(z)}$ olomorfa in ${\displaystyle \Omega }$ e tale che:

${\displaystyle \lim _{z\in \Omega ;\,|z|\rightarrow +\infty }zf(z)=0,}$

allora

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\,\,\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz=0,}$

dove ${\displaystyle R}$ rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.

Si ha che:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,M>0:\forall \,R>M\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|<\varepsilon }$

Inoltre vale che:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}\,:\,\forall z,\,\left|z\right|>M\,\,\Rightarrow \left|z\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}}$

Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }\left|f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\,dz=}$

Poiché si è supposto ${\displaystyle R>M}$, con ${\displaystyle R=\left|z\right|}$, ed essendo ${\displaystyle \left|z\right|}$ il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:

${\displaystyle ={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }dz={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\cdot (\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|=\varepsilon }$

L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli ${\displaystyle \phi _{1},\,\phi _{2}}$.

• Lemma del cerchio piccolo
• Analisi complessa
• Polo (analisi complessa)

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