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Le equazioni di Beltrami , conosciute anche come equazioni di Beltrami-Michell , sono delle equazioni utilizzate per la risoluzione di un generico problema elastico in tre dimensioni trattato in teoria dell'elasticità .
Per la risoluzione del problema elastico nei solidi, uno degli approcci che si può seguire è il cosiddetto metodo degli sforzi . Detti
σ
{\displaystyle \sigma }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
equazioni di equilibrio e di congruenza :
∂
σ
x
x
∂
x
+
∂
σ
x
y
∂
y
+
∂
σ
x
z
∂
z
+
F
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+F_{x}=0}
∂
σ
y
x
∂
x
+
∂
σ
y
y
∂
y
+
∂
σ
y
z
∂
z
+
F
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+F_{y}=0}
∂
σ
z
x
∂
x
+
∂
σ
z
y
∂
y
+
∂
σ
z
z
∂
z
+
F
z
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+F_{z}=0}
∂
2
ε
x
y
∂
x
∂
y
=
∂
2
ε
x
x
∂
y
2
+
∂
2
ε
y
y
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{xx}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{yy}}{\partial x^{2}}}}
dove le x,y,z sono le coordinate di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, le F sono le componenti della forza esterna applicata lungo la terna degli assi.
Utilizzando la Legge di Hooke
{
∇
2
σ
x
x
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
x
2
=
−
(
ν
1
−
ν
)
∇
⋅
F
−
2
∂
F
x
∂
x
∇
2
σ
y
y
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
y
2
=
−
(
ν
1
−
ν
)
∇
⋅
F
−
2
∂
F
y
∂
y
∇
2
σ
z
z
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
z
2
=
−
(
ν
1
−
ν
)
∇
⋅
F
−
2
∂
F
z
∂
z
∇
2
σ
x
y
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
x
∂
y
=
−
(
1
1
+
ν
)
(
∂
F
x
∂
y
+
∂
F
y
∂
x
)
∇
2
σ
y
z
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
y
∂
z
=
−
(
1
1
+
ν
)
(
∂
F
y
∂
z
+
∂
F
z
∂
y
)
∇
2
σ
x
z
+
(
1
1
+
ν
)
∂
2
Θ
∂
x
∂
z
=
−
(
1
1
+
ν
)
(
∂
F
x
∂
z
+
∂
F
z
∂
x
)
{\displaystyle {\begin{cases}\nabla ^{2}\sigma _{xx}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial x^{2}}}=-\left({\frac {\nu }{1-\nu }}\right)\nabla \cdot F-2{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\\\nabla ^{2}\sigma _{yy}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial y^{2}}}=-\left({\frac {\nu }{1-\nu }}\right)\nabla \cdot F-2{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}\\\nabla ^{2}\sigma _{zz}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial z^{2}}}=-\left({\frac {\nu }{1-\nu }}\right)\nabla \cdot F-2{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\\\nabla ^{2}\sigma _{xy}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial x\partial y}}=-\left({\frac {1}{1+\nu }}\right)\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\right)\\\nabla ^{2}\sigma _{yz}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial y\partial z}}=-\left({\frac {1}{1+\nu }}\right)\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\right)\\\nabla ^{2}\sigma _{xz}+\left({\frac {1}{1+\nu }}\right){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial x\partial z}}=-\left({\frac {1}{1+\nu }}\right)\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\end{cases}}}
dove
ν
{\displaystyle \nu }
modulo di Poisson
Θ
=
σ
x
x
+
σ
y
y
+
σ
z
z
{\displaystyle \Theta =\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}
