Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.

Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} +\mathbf {f} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {s} +\nabla \mathbf {s} ^{T}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$

che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier^[1]. Si noti che ${\displaystyle \mathbf {T} }$ è il tensore delle tensioni, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ il vettore delle forze esterne e ${\displaystyle \mathbf {s} }$ il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.

Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.

Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:

${\displaystyle \left(\lambda +G_{m}\right)\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {s} \right)+G\nabla ^{2}\mathbf {s} +\rho \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

cioè scalarmente:

${\displaystyle {\begin{cases}\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{xx}+v_{xy}+w_{xz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{u}+F_{x}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{yx}+v_{yy}+w_{yz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{v}+F_{y}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{zx}+v_{zy}+w_{zz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{w}+F_{z}=0\end{cases}}}$

Con:

• ${\displaystyle \rho \mathbf {F} =\left(F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\right)}$, dove ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è la forza di volume del corpo per unità di massa e ${\displaystyle \rho }$ è la densità di massa;
• ${\displaystyle \{u,\ v,\ w\}}$ componenti dello spostamento;
• ${\displaystyle \lambda }$ è la costante di Lamé, ${\displaystyle {\lambda }={\frac {E*\nu }{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}}$, e G è il modulo di elasticità tangenziale, ${\displaystyle G_{m}={\frac {E}{2\left(1+\nu \right)}}}$, dove ${\displaystyle E}$ è il modulo di elasticità longitudinale di Young e ${\displaystyle \nu }$ è il coefficiente di Poisson.

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