La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

La funzione rampa (${\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$) può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono:

${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$

• la media di tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:

${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$

ciò può essere derivato notando la definizione seguente: ${\displaystyle max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$, per cui ${\displaystyle a=x}$ and ${\displaystyle b=0}$

• la funzione gradino moltiplicata per una linea retta con pendenza unitaria:

${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$

• La convoluzione della funzione gradino con se stessa:

${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$

• L'integrale della funzione gradino:

${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }$

In tutto il dominio la funzione è non negativa, quindi il suo valore assoluto è pari a se stessa:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0}$

e

${\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)}$

• Dimostrazione: attraverso la definizione [2] della media la funzione è non negativa nel I quadrante, e zero nel secondo; non è quindi mai negativa.

La sua derivata è la funzione gradino:

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0}$

Si dimostra dalla definizione [5].

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {i\delta '(\omega )}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$

Dove δ(x) è la delta di Dirac.

La trasformata di Laplace di ${\displaystyle R(x)}$ si ottiene in questa maniera:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Ogni funzione iterata della rampa è pari a se stessa cioè

${\displaystyle R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right)}$.

• Dimostrazione: ${\displaystyle R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}}$ ${\displaystyle =}$
  ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {2R(x)}{2}}=R(x)}$.

Si applica la proprietà di non-negatività.

• Mathworld

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