In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.
La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Sia una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico . Siano inoltre e due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità , sia una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e la misura push-forward .
Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità tale che:
- la mappatura è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme misurabile rispetto alla relativa misura di Borel;
- assume valori non nulli sulla fibra , ovvero per quasi tutti (rispetto a ) gli si ha:
- e dunque:
- per ogni funzione Borel-misurabile si ha:
- In particolare, per ogni evento , assumendo che sia la funzione indicatrice di si ha:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Dellacherie, C. & Meyer, P.-A., Probabilities and potential, North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978.
- (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.
- (EN) J.T. Chang e Pollard, D., Conditioning as disintegration (PDF), in Statistica Neerlandica, vol. 51, n. 3, 1997, p. 287, DOI:10.1111/1467-9574.00056.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Insieme nullo (teoria della misura)
- Misura (matematica)
- Misura di Radon
- Misura prodotto
- Misura push-forward
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) L. Schwartz - Lectures on Disintegration of Measures (PDF), su math.tifr.res.in.
- (EN) Ben Hayes - Disintegration of measures (PDF), su math.ucla.edu. URL consultato il 4 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 7 giugno 2014).