In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.[1] La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia uno spazio vettoriale su un campo . Siano vettori di . Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:[2]
Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato.[3] Se il numero di vettori è uguale alla dimensione del sottospazio generato, allora essi sono linearmente indipendenti, ovvero l'insieme di generatori che formano è una base del sottospazio.[4]
La copertura lineare è, in altre parole, il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori , essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.
Chiusura
[modifica | modifica wikitesto]La trasformazione di un insieme di vettori di nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione , costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se e sono insiemi di vettori di tali che , allora:
In particolare, se e è ottenuto da aggiungendo un vettore , il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore è già contenuto in questo, cioè:
se e solo se:
Basi e dimensione
[modifica | modifica wikitesto]Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.
Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da vettori è al più , ed è proprio se e solo se questi sono indipendenti.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Nel piano
[modifica | modifica wikitesto]In , i vettori e sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive . I vettori e invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro : uno spazio di dimensione ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione , e perciò .
Nello spazio
[modifica | modifica wikitesto]In , i vettori , , sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi , e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 36.
- ^ S. Lang, Pag. 40.
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 37.
- ^ S. Lang, Pag. 44.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
- (EN) Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Base (algebra lineare)
- Combinazione lineare
- Insieme di generatori
- Sottospazio vettoriale
- Spazio vettoriale
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Copertura lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
- (EN) Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele e Anne Schilling, Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics (PDF), su math.ucdavis.edu, University of California, Davis, 13 febbraio 2010. URL consultato il 27 settembre 2011 (archiviato dall'url originale il 7 dicembre 2011).