Nell'analisi dei sistemi dinamici , un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare , e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.
Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
che, nel dominio del tempo , ad una sollecitazione
u
i
n
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} _{in}(t)}
fornisce una risposta
u
o
u
t
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)}
:
u
o
u
t
(
t
)
=
Z
(
u
i
n
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t))}
I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:
Z
(
u
i
n
1
+
u
i
n
2
)
=
Z
(
u
i
n
1
)
+
Z
(
u
i
n
2
)
∀
u
i
n
1
,
u
i
n
2
{\displaystyle \mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \forall \mathbf {u} _{in_{1}},\mathbf {u} _{in_{2}}}
Z
(
c
u
i
n
)
=
c
Z
(
u
i
n
)
c
∈
R
{\displaystyle \mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in})\qquad c\in \mathbb {R} }
Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti .
Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
e dalle variabili di ingresso
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} (t)}
. Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
, ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione
n
{\displaystyle n}
detto spazio delle fasi , secondo le equazioni matriciali:
d
x
(
t
)
d
t
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
y
(
t
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}
dove
y
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)}
è l'uscita o evoluzione. Lo stato
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
è un vettore di dimensione
n
{\displaystyle n}
, l'ingresso
u
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} (t)}
ha dimensione
q
{\displaystyle q}
, mentre
y
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {y} (t)}
ha dimensione
p
{\displaystyle p}
; sono moltiplicati per le matrici
A
{\displaystyle A}
matrice di dimensione
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
,
B
{\displaystyle B}
matrice di dimensione
n
×
q
{\displaystyle n\times q}
,
C
{\displaystyle C}
matrice di dimensione
p
×
n
{\displaystyle p\times n}
e
D
{\displaystyle D}
matrice di dimensione
p
×
q
{\displaystyle p\times q}
.
Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:
x
(
n
+
1
)
=
A
(
n
)
x
(
n
)
+
B
(
n
)
u
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {x} (n+1)=A(n)\mathbf {x} (n)+B(n)\mathbf {u} (n)}
y
(
n
)
=
C
(
n
)
x
(
n
)
+
D
(
n
)
u
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {y} (n)=C(n)\mathbf {x} (n)+D(n)\mathbf {u} (n)}
con
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
.
Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare
x
˙
=
f
(
x
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t))}
nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare
z
˙
=
J
f
(
x
0
)
⋅
z
(
t
)
{\displaystyle {\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)}
in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana
J
f
{\displaystyle J_{f}}
di
f
{\displaystyle f}
. A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di
J
f
{\displaystyle J_{f}}
) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile o instabile.
Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:
{
d
x
(
t
)
d
t
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
+
D
u
(
t
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{matrix}}\right.\,}
Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato .
Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale
x
(
t
=
0
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t=0)}
, ovvero con una relazione del tipo:
d
d
t
x
(
t
)
=
F
(
t
)
⋅
x
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F(t)\cdot \mathbf {x} (t)}
x
0
=
x
(
0
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (0)}
Se il vettore iniziale
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
è allineato con un autovettore destro
r
k
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
di
F
{\displaystyle F}
, allora:
d
d
t
x
(
t
)
=
F
⋅
r
k
=
λ
k
r
k
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F\cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}
con
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
l'autovalore corrispondente. La soluzione è:
x
(
t
)
=
r
k
e
λ
k
t
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}
come si verifica per sostituzione.
Se
F
{\displaystyle F}
è diagonalizzabile , ogni vettore
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro
r
k
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
e sinistro
l
k
{\displaystyle \mathbf {l} _{k}}
di
F
{\displaystyle F}
:
x
0
=
∑
k
=
1
N
(
l
k
,
x
0
)
r
k
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k},\mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}
dove
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}
è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
è la combinazione lineare:
x
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
(
l
k
⋅
x
0
)
r
k
e
λ
k
t
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}
Dato il sistema in due dimensioni:
d
d
t
x
(
t
)
=
A
x
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)}
il polinomio caratteristico ha la forma:
det
(
A
−
λ
I
)
=
λ
2
−
τ
λ
+
Δ
=
0
{\displaystyle \det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}
con
τ
{\displaystyle \tau }
la traccia e
Δ
{\displaystyle \Delta }
il determinante di
A
{\displaystyle A}
. Le radici
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
sono gli autovalori di
A
{\displaystyle A}
, ed hanno la forma:
λ
1
=
τ
+
τ
2
−
4
Δ
2
λ
2
=
τ
−
τ
2
−
4
Δ
2
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}\qquad \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}
Si nota che
Δ
=
λ
1
λ
2
{\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}
e
τ
=
λ
1
+
λ
2
{\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}
, sicché se
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se
τ
>
0
{\displaystyle \tau >0}
sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se
τ
<
0
{\displaystyle \tau <0}
sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).
Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso
V
i
n
(
t
)
{\displaystyle V_{in}(t)}
e da un resistore
R
{\displaystyle R}
in serie ad un condensatore di capacità
C
{\displaystyle C}
. La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:
R
⋅
i
(
t
)
+
V
o
u
t
(
t
)
=
V
i
n
(
t
)
{\displaystyle R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)}
Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:
i
(
t
)
=
C
d
d
t
V
o
u
t
(
t
)
{\displaystyle i(t)=C{\frac {d}{dt}}V_{out}(t)}
si ha sostituendo:
R
C
d
d
t
V
o
u
t
+
V
o
u
t
=
V
i
n
{\displaystyle RC{\frac {d}{dt}}V_{out}+V_{out}=V_{in}}
Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo
τ
=
R
C
{\displaystyle \tau =RC}
.
(EN ) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms , Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 .
(EN ) Hespanha,J.P., Linear System Theory , Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 .
E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi , Edizioni Libreria Progetto, Padova , 2003 .
A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni , Pitagora Editrice, Bologna , 1998 .