In matematica, il settimo problema di Hilbert è uno dei problemi matematici posti da David Hilbert nel 1900. Riguarda l'irrazionalità e la trascendenza di particolari numeri (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Il problema è posto in due forme equivalenti:^[1]

1. In un triangolo isoscele, se il rapporto tra l'angolo alla base e l'angolo al vertice è algebrico ma non razionale, si può affermare che il rapporto tra base e lato è sempre trascendente?
2. Si può affermare che ${\displaystyle a^{b}}$ è sempre trascendente, per ogni numero algebrico ${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$ e ogni irrazionale algebrico ${\displaystyle b}$?

Aleksandr Osipovič Gel'fond ha risposto affermativamente alle due domande nel 1934 e Theodor Schneider ha esteso il suo risultato nel 1935. Il risultato raggiunto è noto come teorema di Gel'fond o teorema di Gel'fond–Schneider. La restrizione a ${\displaystyle b}$ irrazionale è importante, dato che è semplice verificare che ${\displaystyle a^{b}}$ è algebrico per ${\displaystyle a}$ algebrico e ${\displaystyle b}$ razionale. Anche la restrizione a ${\displaystyle b}$ algebrico è necessaria, in quanto ad esempio se ${\displaystyle a=2}$ e ${\displaystyle b={\frac {\ln 3}{\ln 2}}}$ si ha che ${\displaystyle a^{b}=3}$ che non è trascendente.

Il teorema è stato successivamente esteso da Alan Baker che ha dimostrato un importante risultato riguardante forme lineari in logaritmi.

• Numero di Hilbert

• (EN) Traduzione in inglese delle tesi originali di Hilbert, su aleph0.clarku.edu.