In matematica, il gruppo unitario speciale di grado
è il gruppo delle matrici unitarie
con determinante
dotato della consueta moltiplicazione.
Il gruppo speciale unitario, indicato con
, è un sottogruppo del gruppo unitario
, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale
.
Il caso più semplice, ovvero
, è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo
è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da
sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è
.
Il gruppo speciale unitario
è un gruppo di Lie di dimensione
. Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di
è isomorfo al gruppo ciclico Zn. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per
, è Z2, mentre quello di
è il gruppo banale.
L'algebra di Lie
di
consiste di matrici anti-hermitiane
con traccia zero.[1] Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione
.
Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore
. Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori
che sono matrici
complesse hermitiane a traccia nulla, dove:
![{\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd45ca6d34e60dd4744cbbd2c962087357d6ba9)
dove le
sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti
sono simmetrici.
Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\\\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ea996cf93a90b8cd1be15e2315608c17e503e4)
Il fattore
nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.
La condizione di normalizzazione più comune è:
![{\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8734cc66d89d6707c1169f09e3b6b5b546a7fdf4)
I generatori
soddisfano inoltre l'identità di Jacobi[2]:
In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore
davanti: nel caso del gruppo
, si prendono come generatori le matrici
dove
sono le matrici di Pauli, mentre per il gruppo
si definiscono i generatori
dove
sono le matrici di Gell-Mann[2]. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:
Nella rappresentazione aggiunta
-dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici
, i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:
![{\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775b0ef218cc977fc79787777c8193ba08f053e3)
La complessificazione dell'algebra di Lie
è
, lo spazio di tutte le matrici complesse
con traccia nulla.[3] Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla,[4] che si identifica con i vettori in
tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le
permutazioni di
.
Una scelta di radici semplici è data da:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56204f08167aeeb2c5213a155ea317d23f728f39)
Pertanto
ha rango
e il suo diagramma di Dynkin è quello di
, cioè una catena lineare di
nodi.[5] La matrice di Cartan è
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90601d221286c75621b8f55b36410e89ef062f1e)
Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.
Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,[6]
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61204f51fca54af7e42063de8d64edcf41282c8)
dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.
Considerando
come coppia in
dove
e
, allora l'equazione
diventa
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be606d79367578df0853b6c6ee02407ded846146)
che equivale all'equazione della 3-sfera S3. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f085e61ad74e913152867ada4e8855c0ce39c055)
dove
indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando
diffeomorfo a
e
diffeomorfo a
). Quindi, la restrizione di
alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con
, è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di
, nello specifico
.
Pertanto, come varietà,
è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che
può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.
La matrice complessa
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bcc8a5e7828f63431ec820b65e166ba2013e35)
può essere mappata a un quaternione come:
![{\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f2f594bf1a093f2765b7dc602e2f3bd3e0e0b6)
e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.[7]
L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici
antihermitiane a traccia nulla.[1] Esplicitamente, ciò significa che
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0295d9f1edc104dbadd7114f8038da189290cc3b)
L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,
![{\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8780ec6412fa91d0200e001278a1b4638f6dcedd)
che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule
e
Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni
e
, il commutatore è quindi specificato da
![{\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da532e2434fd294dbca0834da6f8192eb1dc480)
Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.
è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso.[8] La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.[9]
I generatori
, dell'algebra di Lie
del gruppo
nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono
![{\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9135ccbb4e3fdd449c891022281196d085e346c)
dove
indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27272365d50c95972a5a66b020caf63b836131df)
In quanto generatori, combinazioni lineari di queste
coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla
. Si osservi che
,
e
sono antisimmetriche.
I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84522e4ae5ab8f237d70c19f62e7b45affdb3c3)
derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,
.
I coefficienti
sono le costanti di struttura, determinate da
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0befb2b66a9e9bab74a1c06cbfd696c5ae4286dc)
mentre tutte le altre
che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di 1⁄6 di tutte le
sono non nulle.
I coefficienti simmetrici
assumono i valori:
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5724a51efe19a5d3c9d2b106c60f9f6f8eaa68c9)
e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.
Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla
, con la normalizzazione
, può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in
:[10]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3911db5c2d7bd1d44edad1dff8db8099b077ed6)
dove
![{\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b54c3b30a637ef4902d486f9d86c0a7e46db78)
- ^ a b Hall 2015, Proposizione 3.24.
- ^ a b (EN) Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories, 1ª ed., CRC Press, 4 maggio 2018, DOI:10.1201/9780429499210, ISBN 978-0-429-49921-0. URL consultato il 17 agosto 2024.
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- Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.