In matematica, il problema di Galois inverso consiste nel determinare quali gruppi G siano gruppi di Galois di qualche estensione di Galois di un fissato campo F (se questa estensione esiste, si dice che G è realizzabile su F). Sebbene studiato da almeno un secolo, ad oggi (gennaio 2021) tale problema non è ancora risolto nella sua generalità.
La congettura principale in questo campo è che ogni gruppo finito sia il gruppo di Galois di qualche polinomio a coefficienti razionali.
È detto problema inverso in relazione al problema "usuale" della teoria di Galois, che richiede di determinare il gruppo di Galois di una data estensione di campi.
Casi particolari
[modifica | modifica wikitesto]Sono noti diversi risultati al problema in casi particolari.
Campi finiti
[modifica | modifica wikitesto]Il problema di Galois inverso è in particolare completamente risolto per i campi finiti: infatti il gruppo di Galois di su è sempre ciclico, generato dall'automorfismo di Frobenius, e quindi anche il gruppo di Galois di su (che, per il teorema fondamentale della teoria di Galois, è un suo quoziente) è ciclico.
Gruppi abeliani
[modifica | modifica wikitesto]Leopold Kronecker ha dimostrato che ogni gruppo abeliano è il gruppo di Galois di qualche estensione del campo dei razionali ; la sua dimostrazione in realtà ne fornisce anche una costruzione esplicita, a partire dalle proprietà degli ampliamenti generati dai polinomi ciclotomici e sfruttando il teorema di Dirichlet sull'esistenza di infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche e la classificazione dei gruppi abeliani finiti.
Secondo questo infatti, un gruppo abeliano è isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici, ognuno dei quali può essere realizzato come gruppo di Galois di un'estensione contenuta in un (dove quest'ultima è una radice dell'unità), dove p è un primo congruo a 1 modulo n (con n ordine del gruppo che andiamo a considerare). L'esistenza di infiniti numeri primi congrui a 1 modulo t per ogni t garantisce la possibilità di scegliere per ogni fattore un primo distinto; il campo cercato sarà allora il più piccolo campo (cioè il composto) di tutti i campi trovati a partire dai fattori.
Altri risultati
[modifica | modifica wikitesto]Il teorema di irriducilità di Hilbert (dimostrato da David Hilbert) implica che per realizzare un gruppo di Galois sui razionali è sufficiente realizzarlo su un campo . Questo ha portato alla dimostrazione che i gruppi simmetrici e i gruppi alterni sono gruppi di Galois su .
Tutti i gruppi semplici, ad eccezione del gruppo di Mathieu M23, sono stati realizzati come gruppi di Galois su .[1]
Nel 1954 Igor' Šafarevič ha dimostrato con metodi della teoria dei numeri che tutti i gruppi risolubili sono gruppi di Galois di un'estensione dei razionali.
Importanza del campo base
[modifica | modifica wikitesto]Eliminando la richiesta di realizzare il gruppo su un campo fissato, il problema diventa semplice da risolvere: infatti il gruppo di Galois del campo delle funzioni razionali sul campo delle funzioni simmetriche è il gruppo simmetrico Sn, e per il teorema di Cayley ogni gruppo finito è isomorfo ad un sottogruppo G di un gruppo simmetrico; quindi per il teorema fondamentale della teoria di Galois il gruppo di Galois di K sul campo fisso KG è isomorfo a G.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ (EN) Su OpenProblem Garden
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Helmut Völklein, Bullettin of the American Mathematical Society, vol. 38, n. 2, 27 dicembre 2000, pp. 235-243, http://www.ams.org/bull/2001-38-02/S0273-0979-00-00898-3/S0273-0979-00-00898-3.pdf . URL consultato il 30 maggio 2009.
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