Piccolo icosicosidodecaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 triangoli 20 esagoni 12 pentagrammi
Nº facce	52
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-8
Incidenza dei vertici	6.5/2.6.3
Notazione di Wythoff	5/2 3 | 3
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo esacontaedro icosacronico
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il piccolo icosicosidodecaedro è un poliedro stellato uniforme avente 52 facce - 20 triangolari, 20 esagonali e 12 a forma di pentagramma - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo icosicosidodecaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ,\,\pm (\varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2\varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)}$

dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea.

Il piccolo icosicosidodecaedro, spesso indicato con il simbolo U₃₁ e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, ha la stessa disposizione di vertici del grande dodecaedro troncato stellato, inoltre, esso condivide la disposizione degli spigoli con il piccolo dodecicosidodecaedro ditringonale, con cui ha in comune la disposizione delle facce triangolari e pentagrammiche, e con il piccolo dodecicosaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce esagonali.

Grande dodecaedro troncato stellato

Piccolo icosicosidodecaedro

Piccolo dodecicosidodecaedro ditrigonale

Piccolo dodecicosaedro

Piccolo esacontaedro icosacronico
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Aquiloni
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	52
Caratteristica di Eulero	-8
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo icosicosidodecaedro
Manuale

Il piccolo esacontaedro icosacronico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo icosicosidodecaedro, avente per facce 60 aquiloni.^[2]

Dato un piccolo icosicosidodecaedro di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo esacontaedro icosacronico come composto da 60 facce intersecanti a forma di aquilone, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}}-{\frac {1}{20}}{\sqrt {5}})\approx 50,342\,524\,343\,87^{\circ }}$ e due angoli di ampiezza ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{12}}-{\frac {19}{60}}{\sqrt {5}})\approx 142,318\,554\,460\,55^{\circ }}$ e ${\displaystyle \arccos(-{\frac {5}{12}}-{\frac {1}{60}}{\sqrt {5}})\approx 116,996\,396\,851\,70^{\circ }}$, con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\displaystyle {\frac {31+5{\sqrt {5}}}{38}}\approx 1,110\,008\,944\,41}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo icosicosidodecaedro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo esacontaedro icosacronico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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