I parametri di Stokes sono un insieme di quattro valori che descrivono lo stato di polarizzazione della radiazione elettromagnetica, inclusa la luce visibile. Furono introdotti da George Gabriel Stokes nel 1852^[1][2] come alternativa matematicamente conveniente alla descrizione più comune della radiazione incoerente o parzialmente polarizzata in termini della sua intensità totale I, del suo grado di polarizzazione p, e dei parametri di forma dell'ellisse di polarizzazione. I quattro parametri formano il vettore di Stokes.

L'effetto di un sistema ottico sulla polarizzazione della luce può essere determinato conoscendo il vettore di Stokes per la luce in ingresso e applicando il calcolo di Müller, così da ottenere il vettore di Stokes della luce in uscita.

Il lavoro originale di Stokes è stato riscoperto indipendentemente da Francis Perrin nel 1942^[3] e da Subrahmanyan Chandrasekhar nel 1947^[4][5], che diede il nome di "parametri di Stokes".

La formula che mette in relazione i parametri di Stokes ${\displaystyle (S_{0},S_{1},S_{2},S_{3})}$ (talvolta indicati con I, Q, U e V) con i parametri di intensità e del grado di polarizzazione è la seguente:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Q=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=U=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=V=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

I parametri ${\displaystyle Ip}$, ${\displaystyle 2\psi }$ e ${\displaystyle 2\chi }$ sono le coordinate sferiche di un vettore tridimensionale di coordinate cartesiane ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$. ${\displaystyle I}$ è l'intensità totale del fascio luminoso, e ${\displaystyle p}$ il grado di polarizzatione, limitato in ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. il fattore 2 prima di ${\displaystyle \psi }$ rappresenta il fatto che ogni ellisse di polarizzazione è indistinguibile da un'ellisse ruotata di 180°, mentre il fattore due prima di ${\displaystyle \chi }$ indica che un'ellisse è indistinguibile da una in cui i semi assi sono scambiati e ruotata di 90°. I parametri di Stokes non mantengono l'informazione della fase della luce polarizzata.

Le coordinate sferiche possono essere ottenute dai parametri ${\displaystyle (S_{0},S_{1},S_{2},S_{3})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

I parametri di Stokes sono spesso combinati in un vettore detto vettore di Stokes:

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Questi vettori coprono uno spazio vettoriale che include luce non polarizzata, parzialmente polarizzata e completamente polarizzata. Una descrizione alternativa usa i vettori di Jones, che comprendono solo il caso completamente polarizzato; questi sono utili in problemi di luce coerente. I quattro parametri di Stokes hanno il vantaggio di essere misurati o calcolati più semplicemente.

Si noti che esiste una ambiguità nella scelta del segno per il parametro V, legato alla polarizzazione circolare. Esistono due convenzioni per la definizione dei parametri: una convenzione li definisce i parametri guardando il fascio nella direzione di propagazione ("dando le spalle" alla sorgente), e una nella direzione opposta ("guardando" la sorgente); le due convenzioni danno segno opposto per V.

Nel seguito sono riportati i vettori di Stokes per alcuni stati di polarizzazione.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione lineare (orizzontale)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione lineare (verticale)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione lineare (+45° dall'orizzontale)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione lineare (-45° dall'orizzontale)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione circolare destra
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Polarizzazione circolare sinistra
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Non polarizzata

Un'onda piana monocromatica è definita dal suo vettore di propagazione ${\displaystyle {\vec {k}}}$, e dalla ampiezza complessa del campo elettrico ${\displaystyle E_{1}}$ and ${\displaystyle E_{2}}$, data in una certa base ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$. La coppia ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$ è chiamata vettore di Jones. Alternativamente, si può specificare il vettore di polarizzazione, la fase ${\displaystyle \phi }$, e lo stato di polarizzazione ${\displaystyle \Psi }$, dato dalla curva tracciata dal campo elettrico in funzione del tempo in un piano fissato. Gli stati di polarizzazione più comuni sono quello lineare e circolare, che sono casi degeneri del più generale stato ellittico.

In questo modo si può descrivere la polarizzazione dando i semiassi maggiori e minori dell'ellisse, la sua orientazione, e la direzione di rotazione.

I parametri ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle U}$, e ${\displaystyle V}$ sono una alternativa conveniente in quanto corrispondono a somma o differenza di valori di intensità misurabili sperimentalmente, come illustrato nella figura seguente.

Usando questa descrizione, i parametri di Stokes possono essere definiti in base ai valori di intensità:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

In queste formule sono stati usate diverse basi per i vettori di Jones, indicate dal pedice: una base cartesiana "standard" (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$, "orizzontale" e "verticale"), una base cartesiana ruotata di 45° rispetto alla precedente (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$), e la base circolare (${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$), che è definita come ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$.

I simboli ⟨⋅⟩ indicano il valore di aspettazione: la luce viene considerata una variabile aleatoria nello spazio complesso C² dei vettori di Jones ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$. Ogni misura si riferisce ad un'onda specifica (con una specifica fase, ellisse di polarizzazione e ampiezza), che continuamente "oscilla" tra diversi valori; il valore di aspettazione è la media di tali valori. La luce "non polarizzata" ha I > 0 e Q = U = V = 0, indicando l'assenza di una polarizzazione prevalente.

Nel caso opposto di una onda piana sinusoidale, perfettamente definita (non aleatoria), il valore medio assume il valore della ampiezza quadra dell'onda, indicata con ${\displaystyle |E_{x}|^{2},|E_{y}|^{2}}$ eccetera.

In una base cartesiana data (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), usando la convezione di "fase crescente", i parametri sono dati da,

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$.

Per la base ${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$ si ha

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

e per la base circolare ${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Nel caso di radiazione coerente e monocromatica, dalle equazioni precedenti si ricava

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2}.}$

Nel caso di radiazione parzialmente polarizzata, l'equazione precedente diventa una diseguaglianza:^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Possiamo tuttavia definire una intensità totale della luce polarizzata

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

e ${\displaystyle I_{p}/I}$ è la frazione di luce polarizzata.

Definiamo l'intensità complessa della polarizzazione lineare come

${\displaystyle L\equiv |L|e^{i2\theta }\equiv Q+iU.}$

Per una rotazione ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$ dell'ellisse di polarizzazione, si trova che ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle V}$ sono invarianti, ma

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Con queste proprietà, si possono definire tre intensità generalizzate dai parametri di Stokes:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle I}$è l'intensità totale, ${\displaystyle |V|}$ l'intensità della luce polarizzata circolarmente, e ${\displaystyle |L|}$ l'intensità della luce polarizzata linearmente. L'intensità totale della luce polarizzata è ${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$, e l'orientazione e senso di rotazione sono date da

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Poiché ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$ e ${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$, si trova

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

In termini dei parametri dell'ellisse di polarizzazione, i parametri di Stokes sono

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Le relazioni inverse sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Da un punto di vista geometrico e algebrico i parametri di Stokes sono in corrispondenza uno a uno con un cono 4-dimensionale, chiuso e convesso di operatori hermitiani non negativi sullo spazio di Hilbert C². Il parametro I rappresenta la traccia dell'operatore, e gli elementi di matrice sono funzioni lineari dei parametri I, Q, U, V. In questo modo si definiscono gli operatori di Stokes, corrispondenti ai parametri^[7]. Gli autovalori e autostati degli operatori possono essere calcolati dalla ellisse di polarizzazione con i valori di I, p, ψ, χ.

I parametri di Stokes con I uguale a 1 (cioè operatori a traccia 1) sono in corrispondenza uno a uno con la palla unitaria chiusa tridimensionale di stati quantistici misti (o operatori densità) dello spazio C², il cui bordo è la sfera di Bloch. Il vettore di Jones corrisponde al sottostante spazio C², lo spazio degli stati puri dello stesso sistema. Si noti che l'informazione sulla fase quantistica si perde passando da una stato puro |φ⟩ al corrispondente stato misto |φ⟩⟨φ|, così come la fase del campo elettrico si perde passando dal vettore di Jones a quello di Stokes.

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster, Polarization and the Stokes Parameters, in Am. J. Phys., vol. 22, 1954, p. 351, Bibcode:1954AmJPh..22..351M, DOI:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster, Matrix representation of polarization, in Rev. Mod. Phys., vol. 33, 1961, p. 8, Bibcode:1961RvMP...33....8M, DOI:10.1103/RevModPhys.33.8.

• Polarizzazione della radiazione elettromagnetica

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Parametri di Stokes

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