In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.
Equazioni differenziali ordinarie
[modifica | modifica wikitesto]Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:
con . Se si possono riordinare i termini:
in modo che le variabili e siano separate ognuna in uno dei due membri.
Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è , la crescita esponenziale.
Esempio
[modifica | modifica wikitesto]La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:
dove è la popolazione in funzione del tempo , è il suo tasso di crescita e è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:
Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:
e quindi la si decompone in fratti semplici:
Si ha quindi:
Uguagliando gli integrandi:
da cui:
per le proprietà dei logaritmi:
Si ha:
e quindi:
Sia . Allora:
che si può riscrivere:
da cui si ricava:
Quindi la soluzione all'equazione logistica è:
Per trovare , sia e . Si ha:
Notando che , risolvendo per si ha:
Equazioni alle derivate parziali
[modifica | modifica wikitesto]Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.
Caso omogeneo
[modifica | modifica wikitesto]Data l'equazione della diffusione in una dimensione:
con condizione al contorno:
si cerca di trovare una soluzione non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da e è separata, ovvero:
Sostituendo nell'equazione e usando la regola del prodotto:
Dato che il membro alla destra dipende solo da e quello alla sinistra solo da , entrambi sono uguali ad una qualche costante :
dove è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con e le rispettive autofunzioni.
Per mostrare che non vi sono soluzioni per , si osserva inizialmente che per esistono due numeri reali e tali che:
Utilizzando le condizioni al contorno si ha che , da cui si ha , che implica che è nulla. Supponendo , del resto, in tal caso esistono due numeri reali e tali che:
Dal fatto che si conclude in modo analogo che è nulla. Quindi, deve essere , ed esistono , e tali che:
Sfruttando nuovamente , si ha e che per qualche intero positivo si verifica:
Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di ha la forma . In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:
dove sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.
Se la condizione iniziale è:
si ottiene:
che è l'espansione in serie di seni di . Moltiplicando ambo i membri per e integrando nell'intervallo si ha:
Questo metodo richiede che le autofunzioni di , che in tal caso sono:
siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.
Caso non omogeneo
[modifica | modifica wikitesto]Si consideri l'equazione non omogenea:
con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni , e possono essere espanse in serie di seni:
dove e possono essere calcolati per integrazione, mentre deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di e nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:
che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:
Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.
Software
[modifica | modifica wikitesto]Xcas:[1] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Symbolic algebra and Mathematics with Xcas (PDF), su www-fourier.ujf-grenoble.fr.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Andrei D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2002, ISBN 1-58488-299-9.
- (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers[collegamento interrotto], Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
- (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Equazione differenziale alle derivate parziali
- Equazione differenziale ordinaria
- Equazione logistica
- Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) separation of variables, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Separazione delle variabili, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Separazione delle variabili, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- (EN) Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
- (EN) Examples of separating variables to solve PDEs
- (EN) "A Short Justification of Separation of Variables" (PDF), su math-cs.gordon.edu.