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Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità ${\displaystyle n}$, diciamo ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Da ${\displaystyle \mathbf {x} }$ si ricampionano ${\displaystyle B}$ altri campioni di numerosità costante ${\displaystyle n}$, diciamo ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}^{*},\ldots ,\mathbf {x} _{B}^{*}}$. Se ${\displaystyle F}$ è la funzione di ripartizione del fenomeno aleatorio dal quale è stato campionato ${\displaystyle {\textbf {x}}}$, allora la funzione di ripartizione empirica ${\displaystyle {\hat {F}}}$ è un'approssimazione di ${\displaystyle F}$; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione ${\displaystyle {\hat {F}}}$ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme su ${\displaystyle {\textbf {x}}}$, dunque di fatto ogni ricampionamento ${\displaystyle {\textbf {x}}_{k}^{*}}$, con ${\displaystyle k=1,\dots ,B}$, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione ${\displaystyle n}$ valori da ${\displaystyle {\textbf {x}}}$.

Sia ${\displaystyle T}$ lo stimatore di ${\displaystyle \theta }$ che ci interessa studiare, diciamo ${\displaystyle T(\mathbf {x} )={\hat {\theta }}}$. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, ${\displaystyle T(\mathbf {x} _{1}^{*}),\ldots ,T(\mathbf {x} _{B}^{*})}$. In questo modo si hanno a disposizione ${\displaystyle m}$ stime di ${\displaystyle \theta }$, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap, ecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$.

Dato il campione ${\displaystyle {\textbf {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$:

• Si simulano ${\displaystyle B}$ campioni ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1}^{*},\ldots ,{\textbf {x}}_{B}^{*}}$, di numerosità ${\displaystyle n}$ da ${\displaystyle {\hat {F}}}$.
• Si calcolano le ${\displaystyle B}$ replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: ${\displaystyle {\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{1}^{*}),\ldots ,{\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{B}^{*})}$, dove ${\displaystyle {\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{k}^{*})=T({\textbf {x}}_{k}^{*}).}$
• Si stima la varianza campionaria come:

${\displaystyle {\text{Var}}_{B}({\hat {\theta }})={\frac {1}{B-1}}\sum _{k=1}^{B}\left({\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{k}^{*})-\theta ^{*}\right)^{2},\quad {\text{dove }}\theta ^{*}={\frac {1}{B}}\sum _{k=1}^{B}{\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{k}^{*}).}$

• Si stima la distorsione come:

${\displaystyle \beta =\theta ^{*}-\theta ={\frac {1}{B}}\sum _{k=1}^{B}{\hat {\theta }}({\textbf {x}}_{k}^{*})-{\hat {\theta }}.}$

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile, anche lavorando in ambito non parametrico, calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, ecc.

• Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, An Introduction to the Bootstrap, New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

• Metodo Monte Carlo
• Convalida incrociata

• (EN) Eric W. Weisstein, Bootstrap, su MathWorld, Wolfram Research.

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