Il lemma di Thue, chiamato così dal matematico norvegese Axel Thue, è un lemma della teoria dei numeri che afferma che, per ogni numero primo p e per ogni intero
, la congruenza
![{\displaystyle ax\equiv y\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f164de041e4a03cf9cd6a252e8450d0f26bfb)
(dove
indica l'operazione modulo).
ammette una soluzione
tale che
.
Può essere usato per dimostrare il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati.
Consideriamo i numeri ax - y (modulo p) tali che
![{\displaystyle 0\leq x\leq [{\sqrt {p}}],~~0\leq y\leq [{\sqrt {p}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44bd9c2d311d5cdc7059ff83f877faad19800ad)
dove [a] indica la funzione parte intera di a (ovvero il più grande intero non maggiore di a). Questi valori sono in numero di
. Quindi esistono due coppie
e
tali che
; inoltre
, perché altrimenti si avrebbe
![{\displaystyle {\begin{cases}ax_{1}-y_{1}\equiv c\mod p\\ax_{1}-y_{2}\equiv c\mod p\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b502afe4f56b8a1cd7cb783301a8bf8292a02915)
e quindi
e le coppie non sarebbero distinte. Consideriamo l'espressione
![{\displaystyle a(x_{1}-x_{2})-(y_{1}-y_{2})=(ax_{1}-y_{1})-(ax_{2}-y_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57bdd0c73e55675516ec1fb31890486bea00c8b6)
Questa è palesemente congrua a 0 modulo n.
è la differenza tra due quantità minori di
, e quindi è essa stessa minore di
. Allo stesso modo
. Quindi ponendo
![{\displaystyle x_{0}=x_{1}-x_{2},~~y_{0}=y_{1}-y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7630c33e6bf617e57b37b6566b3769568889eeb0)
si ha la coppia desiderata.