Il lemma di Thue, chiamato così dal matematico norvegese Axel Thue, è un lemma della teoria dei numeri che afferma che, per ogni numero primo p e per ogni intero ${\displaystyle a\not \equiv 0\mod p}$, la congruenza

${\displaystyle ax\equiv y\mod p}$

(dove ${\displaystyle \equiv }$ indica l'operazione modulo).

ammette una soluzione ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ tale che ${\displaystyle 0<|x_{0}|<{\sqrt {p}},~0<|y_{0}|<{\sqrt {p}}}$.

Può essere usato per dimostrare il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati.

Consideriamo i numeri ax - y (modulo p) tali che

${\displaystyle 0\leq x\leq [{\sqrt {p}}],~~0\leq y\leq [{\sqrt {p}}]}$

dove [a] indica la funzione parte intera di a (ovvero il più grande intero non maggiore di a). Questi valori sono in numero di ${\displaystyle ([{\sqrt {p}}]+1)^{2}>({\sqrt {p}}-1+1)^{2}=p}$. Quindi esistono due coppie ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ tali che ${\displaystyle ax_{1}-y_{1}\equiv ax_{2}-y_{2}\mod p}$; inoltre ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$, perché altrimenti si avrebbe

${\displaystyle {\begin{cases}ax_{1}-y_{1}\equiv c\mod p\\ax_{1}-y_{2}\equiv c\mod p\end{cases}}}$

e quindi ${\displaystyle y_{1}\equiv y_{2}}$ e le coppie non sarebbero distinte. Consideriamo l'espressione

${\displaystyle a(x_{1}-x_{2})-(y_{1}-y_{2})=(ax_{1}-y_{1})-(ax_{2}-y_{2})}$

Questa è palesemente congrua a 0 modulo n. ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$ è la differenza tra due quantità minori di ${\displaystyle [{\sqrt {p}}]}$, e quindi è essa stessa minore di ${\displaystyle |{\sqrt {p}}|}$. Allo stesso modo ${\displaystyle y_{1}-y_{2}<{\sqrt {p}}}$. Quindi ponendo

${\displaystyle x_{0}=x_{1}-x_{2},~~y_{0}=y_{1}-y_{2}}$

si ha la coppia desiderata.

• David M. Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 9780073051888

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