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In teoria dei giochi si distingue tra giochi cooperativi e giochi non cooperativi.

Nei giochi cooperativi esiste la possibilità che i giocatori stipulino degli accordi vincolanti, mentre questo non accade nei giochi non cooperativi.

I giochi a ${\displaystyle n}$ giocatori hanno una natura diversa rispetto ai giochi a somma nulla (a due giocatori), nei quali gli interessi dei due giocatori sono in opposizione tra loro, in conflitto diretto. Nei giochi a tre o più giocatori può comparire la cooperazione. La decisione (strategia) di un partecipante può essere svantaggiosa per entrambi gli altri giocatori, oppure vantaggiosa per uno e svantaggiosa per l’altro: la possibilità di un "parallelismo" nelle decisioni tra i giocatori conduce alla formazione di coalizioni. La teoria dei giochi cooperativi esamina i giochi in cui i giocatori si accordano per formare coalizioni, ossia per formare uno dei possibili sottoinsiemi costituito da ${\displaystyle m}$ degli ${\displaystyle n}$ partecipanti al gioco.

Il numero di coalizioni possibili costituibili da un insieme ${\displaystyle R=\{1,2,\cdots ,n\}}$ di ${\displaystyle n}$ giocatori è pari a ${\displaystyle 2^{n}}$. Ai fini pratici una coalizione ${\displaystyle G\subseteq R}$ si considera come un singolo giocatore: i restanti giocatori ${\displaystyle R-G}$ si riuniranno in un'altra coalizione che costituirà la così detta coalizione opposta. Sotto questo punto di vista, assegnata una qualsiasi coalizione ${\displaystyle G}$, nel gioco si troveranno in lotta due colazioni ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle R-G}$ ed il gioco potrà essere inteso come un gioco antagonista tra due “persone’’. Quando ${\displaystyle G=R}$ il gioco di riduce al un gioco di una persona singola dove le decisioni possibili della coalizione avversa ${\displaystyle R-G=\{\varnothing \}}$ si riducono alla sola ed unica strategia: quella di non fare nulla. Stesso discorso vale qualora si avesse ${\displaystyle G=\{\varnothing \}}$

Assegnata la coalizione ${\displaystyle G}$, con ${\displaystyle A}$, la relativa matrice dei pagamenti e costituita la contro-coalizione ${\displaystyle G^{c}=R-G}$, con matrice dei pagamenti ${\displaystyle B}$, il gioco tra i due può dunque essere ricondotto a

• un gioco a somma costante e dunque a somma nulla allorquando ${\displaystyle A+B=0}$ ovvero ${\displaystyle B=-A}$,

• un gioco a somma non costante, cioè a doppia matrice ${\displaystyle [A,B]}$.

Il valore di una coalizione ${\displaystyle v(G)}$ viene misurato tramite la funzione caratteristica, cioè per mezzo di una funzione ${\displaystyle v}$ a valori reali definita sull’insieme di tutti i sottoinsiemi ${\displaystyle G\subseteq R}$ tale che

${\displaystyle v(G)}$ = valore del gioco per la coalizione ${\displaystyle G}$

Si indichi con ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ e ${\displaystyle {\mathbf {y} }}$ le strategie miste rispettivamente della coalizione ${\displaystyle G}$ e della coalizione opposta ${\displaystyle G^{c}}$. In sostanza ${\displaystyle v(G)}$ è la vincita minima che la coalizione ${\displaystyle G}$ si assicura mediante la scelta di un’appropriata strategia maximin

${\displaystyle \max _{\mathbf {x} }\min _{j}{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {a} }^{j}=v(G)}$

allorquando la coalizione avversa ${\displaystyle R-G}$ fa di tutto per impedirgli di ottenere una vincita superiore a ${\displaystyle v(R-G)}$ minimizzando le proprie perdite mediante la scelta di un’opportuna strategia minimax:

${\displaystyle \min _{\mathbf {y} }\max _{i}{\mathbf {a} }_{i}\cdot {\mathbf {y} }=v(R-G)}$

In un gioco a somma non costante il teorema del minimax non sussiste: massimizzare le proprie vincite non è la stessa cosa di minimizzare le vincite dell’avversario in quanto un giocatore dovrebbe ignorare le vincite che potrebbe conseguire (guardando alla matrice ${\displaystyle B}$) per concentrare tutti i suoi sforzi nel recare il maggior danno al giocatore avversario (guardando cioè alla matrice ${\displaystyle A}$). Premesso ciò, resta inteso che anche nel caso di giochi a somma non nulla, la liquidazione del gioco può essere intesa come la somma corrispondente al valore di un gioco a somma zero una volta che si ipotizzi che la contro-coalizione ${\displaystyle G^{c}}$ agisca minimizzando la vincita della coalizione ${\displaystyle G}$ in riferimento alla matrice ${\displaystyle A}$, piuttosto che massimizzando il proprio guadagno in riferimento alla matrice ${\displaystyle B}$.

La teoria dei giochi cooperativi cerca di rispondere ad una domanda fondamentale: come la vincita o la perdita conseguita da una coalizione venga ripartita, allocata tra i suoi membri.

Le allocazioni possono essere concordate attraverso negoziazioni anteriori alla formazione della coalizione stessa. In merito all’allocazione del risultato del gioco, è ragionevole pensare che nessun membro sarebbe soddisfatto se ricevesse meno di quanto otterrebbe agendo da solo, ossia non aderendo alla coalizione. Indicato con ${\displaystyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ il vettore ad n-componenti indicante l’allocazione delle vincite all’interno di una coalizione generica ${\displaystyle G}$ dove ${\displaystyle a_{j}}$ indica l’ammontare che riceverà il giocatore ${\displaystyle j}$ affiliato alla coalizione ${\displaystyle G}$, von Neumann e Morgenstern (Ref.) caratterizzano il vettore ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$ con le due seguenti proprietà (vincoli):

1.${\displaystyle a_{j}\geq v(\{j\})}$ per ogni ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$

2.${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}=v(R)}$

La proprietà 1. (razionalità individuale) afferma che ogni membro riceve almeno tanto quanto potrebbe ottenere da solo ${\displaystyle v(\{j\})}$, la proprietà 2. (efficienza) afferma che la vincita che i giocatori possono raggiungere cooperando tutti insieme è ${\displaystyle v(R)}$: la vincita della grande-coalizione ${\displaystyle R}$ viene interamente suddivisa tra tutti i giocatori. L'insieme di tutti i vettori che soddisfano le due condizioni sopra introdotte verrà denotato con ${\displaystyle A}$ ed i suoi elementi verranno chiamati imputazioni. L'insieme ${\displaystyle A}$ può essere pensato come un sottoinsieme di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione pari a ${\displaystyle n}$ . Il concetto di imputazione di per sé non stabilisce quali imputazioni incentivino i propri membri ad abbandonare la grande-coalizione ${\displaystyle R}$ per costituire coalizioni più piccole ${\displaystyle G\subset R}$, in particolare quando la funzione caratteristica ${\displaystyle v}$ è super-additiva.

Diversamente, se il gioco presenta una funzione caratteristica ${\displaystyle v}$ additiva, ${\displaystyle v(G)+v(R-G)=v(R)}$, come ad esempio nel caso dei giochi a somma costante o nulla, si dimostra che

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}v(\{j\})=v(R)}$

Per i giocatori scegliere di belligerare tutti contro tutti oppure optare di schierarsi con una coalizione è una scelta fondata sulla convenienza, mentre scegliere di cooperare tutti insieme in ${\displaystyle R}$ condividendo le proprie strategie appare essere una scelta non dettata essenzialmente da una ratio di guadagno.

Qualsiasi funzione caratteristica ${\displaystyle v}$ super-additiva ammette almeno un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$.

Nella definizione di super-additività: ${\displaystyle v(G_{1})+\ldots +v(G_{k})\leq v(G_{1}\cup \ldots \cup G_{k})}$, per ogni ${\displaystyle G_{i}\cap G_{j}=\varnothing }$ con ${\displaystyle i\neq j}$ e ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}\subseteq R}$, è sufficiente considerare ${\displaystyle k=n}$ e scegliere ${\displaystyle G_{j}=\{j\}}$ per ogni ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ per avere

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}v(\{j\})\leq v(R)}$

Definendo per ciascun ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle a_{j}:=v(\{j\})+{{v(R)-\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})} \over {n}}}$

si può vedere facilmente che ${\displaystyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ è un’imputazione, ossia che ${\displaystyle a_{j}\geq v(\{j\})}$ per ogni ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ e che ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}=v(R)}$

Il concetto di imputazione appare troppo ampio per consentire di rispondere deterministicamente alla domanda iniziale: come la vincita viene distribuita tra i propri membri. Ogni qualvolta infatti dovesse risultare per una generica coalizione ${\displaystyle G}$ che

${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}<v(G)}$

allora ai membri di ${\displaystyle G}$ si renderebbe disponibile la quota eccedente ${\displaystyle v(G)}$ - ${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}}$. Tale ammontare potrebbe essere ripartito tra i membri di ${\displaystyle G}$ che si troverebbero così dinnanzi ad una seconda imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ più vantaggiosa dell’imputazione precedente ${\displaystyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$. In sintesi ${\displaystyle {\mathbf {b} }}$ è preferibile ad ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$.

La nozione di dominanza tra imputazioni viene espressa in termini rigorosi dalla seguente definizione: in riferimento alla medesima funzione caratteristica ${\displaystyle v}$ e rispetto al sottoinsieme ${\displaystyle G}$ di ${\displaystyle R}$, un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }}$ domina l’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$ , in simboli ${\displaystyle {\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }}$, se:

1. ${\displaystyle G\neq \{\varnothing \}}$

2. ${\displaystyle b_{j}>a_{j}}$ per ciascun ${\displaystyle j\in G}$

3. ${\displaystyle \sum _{j\in G}b_{j}\leq v(G)}$

Rimane pertanto da verificare se effettivamente ogni sottoinsieme ${\displaystyle G\subseteq R}$ riceve almeno tanto quanto garantito dalla cooperazione, formalmente se ${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)}$ per qualsiasi scelta di ${\displaystyle G}$.

Data un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ si ha che ${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)}$ se, e soltanto se, ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$ non è dominata da alcuna altra imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }}$. Una formulazione alternativa all’enunciato sopra riportato è la seguente: data un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ per la funzione caratteristica ${\displaystyle v}$, esiste un sottoinsieme qualsiasi ${\displaystyle G}$ di ${\displaystyle R}$ tale che ${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}<v(G)}$ se, e soltanto se, esiste un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }}$ che domina ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$ rispetto a ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle {\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }}$.

Vediamo ora come i membri della grande-coalizione ${\displaystyle R}$ costituiscano coalizioni più piccole ${\displaystyle F\subset R}$ rinunciando a cooperare in ${\displaystyle R}$ nel caso in cui la funzione caratteristica ${\displaystyle v}$ sia super-additiva.

L'esistenza di un insieme ${\displaystyle F\subset R}$ per cui si abbia ${\displaystyle \sum _{j\in F}a_{j}<v(F)}$ ha come conseguenza il fatto che alcuni membri di ${\displaystyle R}$, individuati come elementi di ${\displaystyle F}$, rilevano che l'imputazione ${\displaystyle {\mathbf {a} }}$ è dominata da un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }}$. Questi giocatori si distaccheranno dalla grande-coalizione per costituire la coalizione più piccola ${\displaystyle F}$, i giocatori rimasti in ${\displaystyle R}$ simultaneamente rilevano che ${\displaystyle {\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }}$ e formeranno la coalizione ${\displaystyle R-F}$.

Si consideri, ad esempio, l'imputazione

${\displaystyle a_{j}:=v(\{j\})+{{v(R)-\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})} \over {n}}}$ per ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

ipotizzato che ${\displaystyle \sum _{j\in F}a_{j}<v(F)}$, si prenda ${\displaystyle 0<\delta =v(F)-\sum _{j\in F}a_{j}}$0 < e si consideri ${\displaystyle b_{j}=a_{j}+\delta /|F|}$ per ciascun ${\displaystyle j\in F}$.

L'allocazione che spetta alla coalizione antagonista risulta quindi essere ${\displaystyle b_{j}=a_{j}+\epsilon }$ per ${\displaystyle j=1,\ldots ,|F^{c}|}$ dove ${\displaystyle \epsilon =v(\{j\})+{{v(R)-v(F)-\sum _{j\in F^{c}}v(\{j\})} \over {|F^{c}|}}\geq 0}$

Si constata immediatamente che il vettore ${\displaystyle {\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ è un'imputazione: infatti ${\displaystyle b_{j}\geq v(\{j\})}$ per ogni ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ e ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b_{j}=v(R)}$ poiché

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b_{j}=\sum _{j\in F}b_{j}+\sum _{j\in F^{c}}b_{j}=\sum _{j\in F}a_{j}+|F|\cdot \delta +\sum _{j\in F^{c}}v(\{j\})+|F^{c}|\cdot \epsilon =v(R)}$

Infine, poiché risulta ${\displaystyle b_{j}>a_{j}}$ per ciascun ${\displaystyle j\in R}$ ${\displaystyle \sum _{j\in F}b_{j}\leq v(F)}$ si può concludere che ${\displaystyle {\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }}$.

Tramite il concetto di imputazione e di dominanza Von Neumann e Morgenstern definirono la soluzione di un gioco ad n-persone come quell’insieme ${\displaystyle L}$ di imputazioni che gode delle due seguenti proprietà:

1. per ciascuna imputazione ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\not \in L}$ esiste un’imputazione ${\displaystyle {\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\in L}$ che domina ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, ${\displaystyle {\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }}$;

2. nessuna coppia di imputazioni di ${\displaystyle L}$ domina l’una sull’altra.

In letteratura ci si riferisce alle due proprietà come a condizioni di stabilità per l'insieme ${\displaystyle L}$ delle soluzioni: in sostanza le imputazioni che costituiscono equilibri stabili per i giocatori sono soluzioni del gioco. Il concetto di soluzione nel senso di von Neumann non cattura un'unica e ben specifica imputazione del gioco: in generale l'insieme ${\displaystyle L}$ delle soluzioni possibili è costituito da numerose imputazioni.

La situazione in cui la somma dell’ammontare ricevuto da ogni membro di ${\displaystyle G}$ è non inferiore alla liquidazione che la coalizione riceve per sé condusse ad approfondire il concetto di nucleo, ossia l’insieme delle imputazioni non dominate.

Le imputazioni soddisfacenti al vincolo ${\displaystyle \sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)}$ si dicono costituire il nucleo (core) dell’insieme delle imputazioni ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle U=\{{\mathbf {a} }\in A:\sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)\forall G\subseteq R\}}$

Il nucleo per il momento non sembra essere ancora in grado di "catturare" la o le soluzioni dei giochi cooperativi, piuttosto costituirebbe un metodo per scartare le imputazioni che generebbero conflitti all’interno della grande coalizione ${\displaystyle R}$.

Un nucleo non vuoto indica semplicemente quali imputazioni non si devono scegliere: quelle che non risiedono nel nucleo. In generale può tuttavia accadere che il nucleo sia vuoto ${\displaystyle U=\{\varnothing \}}$ (come ad esempio nei giochi a somma costante) oppure che le imputazioni del nucleo siano ancora in numero elevato.

Il nucleo è il concetto chiave attraverso il quale analizzare i giochi cooperativi: giochi in cui i giocatori non hanno motivo di separarsi in coalizioni antagoniste, ma la strategia ottimale è cooperare tutti insieme. La matematica sovietica Olga Bondareva fornì condizioni necessarie e sufficienti affinché il nucleo di un gioco cooperativo sia non vuoto.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su gioco cooperativo

• (EN) cooperative game, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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