In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

La funzione beta di Dirichlet è definita come

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

o anche

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.

È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,{{1} \over {4}})-\zeta (s,{{3} \over {4}})\right)}$.

L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$

dove Γ(s) è la funzione Gamma.

Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}}$,

${\displaystyle \beta (2)\;=\;K}$,

dove K è la costante di Catalan, e

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}}$.

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

Più in generale, per ogni intero positivo k:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{{({-1})^{k}}{E_{2n}}} \over {2(2k!)}}({1 \over 2}{\pi })^{2k+1}}$,

dove ${\displaystyle \!\ E_{n}}$ sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:

${\displaystyle \beta (k)={{E_{k}} \over {2}}}$.

quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.

• M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 807

• Funzione zeta di Hurwitz

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione beta di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione Beta di Dirichlet MathWorld

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